Topological questions of differential geometry. LX: Enumerations of webs (Q5924012)

Ein \(n\)-Gewebe von Hyperflächen in einem zusammenhängenden Gebiet \(G\) des \(N\)-dimensionalen euklidischen Raumes wird gegeben durch \(n\) Relationen \(t_i(x_1,\ldots, x_N) = \) const (\(i = 1,\ldots, n; n > N\)) zwischen den Koordinaten, wobei \(\dfrac{\partial (t_{i_1},\ldots, t_{i_N})}{\partial (x_1,\ldots,x_N)}\neq 0\) ist in \(G\) für paarweise verschiedene \(i_1,i_2,\ldots,i_N\). Das Gewebe hat den Rang \(m\), wenn es genau \(m\) linear unabhängige Identitäten in \(x_1,\ldots, x_N\) gibt von der Form \(\sum\limits_{i=1}^nf_i^{(k)}(t_i)=0\) (\(k=1,\ldots, m\)). Die lineare Unabhängigkeit ist gemeint mit konstanten Koeffizienten, und die \(f_i^{(k)}\) sollen in \(G\) analytische Funktionen von \(t_i\) allein sein. Der Höchstrang \(M\) eines solchen Gewebes soll bestimmt werden. Diese Aufgabe hat \textit{Blaschke} für \(N = 2, 3\) gelöst [Topologische Fragen der Differentialgeometrie. 49: Abzählungen für Kurvengewebe und Flächengewebe, Abhandl. Hamburg 9, 299-312 (1933; JFM 59.1377.02)]. Für beliebige Dimensionszahl \(N\) wird im allgemeinen \[ M\leqq\dfrac{1}{2(N-1)}\{(n-1)(n-N) + s(N-s-1)\}, \] wo \(s\) den zwei Bedingungen \(0\leqq s\leqq N- 2\), \(s\equiv -n + 1\) (mod \(N- 1\)) zu genügen hat. Ein Beispiel eines Gewebes mit dem höchstmöglichen Rang wird im Anschluß an \textit{E. Castelnuovo} angegeben [Atti Accad. Sc. Torino 24 (1889), 346-373 (F. d. M. 21, 669 (JFM 21.0669.01)], insbes. p. 368). -- Für besondere Ausnahmefälle wird der Höchstrang ebenfalls abgeleitet.