On an arithmetic function. (Q5924086)

Mit Hilfe des größten gemeinsamen Teilers \((r, n)\) zweier Zahlen definiert Verf. die folgende zahlentheoretische Funktion: \[ \beta(n)= \sum_{r=1}^n (r, n), \tag{1} \] über die er nach den üblichen elementaren Methoden folgende einfache Resultate erhält: \[ \beta(n) = n\prod\bigg(\lambda_i+1-\dfrac{\lambda_i}{p_i} \bigg),\qquad \text{wenn}\quad n = \varPi p_i^{\lambda_i}, \tag{2} \] \[ \sum_{d|n}\beta(d) = n\tau(n)\qquad (\tau(n) = \;\text{Anzahl der Teiler von}\;n), \tag{3} \] \[ \beta(n) = n\sum_{d|n} \dfrac{\varphi(d)}{d}\qquad (\varphi(n) = \text{\textit{Euler}sche Funktion}), \tag{4} \] \[ \sum_{d|n}\beta(d) = \sum_{d|n}\sigma(d)\cdot\varphi \bigg(\dfrac{n}{d}\bigg)\qquad (\sigma(n)=\text{Summe der Teiler von}\;n). \tag{5} \]