Über die Approximation von komplexen Zahlen. (Q5924111)

Es wird der folgende Satz bewiesen: Über imaginärquadratischen Körpern \(k\bigl(i\sqrt{m}\bigr)\) mit der Klassenzahl 1 als Grundkörpern betrachte man komplexe Relativkörper \(n\)-ten Relativgrades. \(d\) sei die absolut kleinste Relativdiskriminante für diese Relativkörper. Dann gilt: Ist \(k\) eine positive Konstante, für die \(k<\dfrac{1}{|\,d\,|^{\tfrac{1}{2(n-1)}}}\) gilt, so gibt es sicher \(n - 1\) unabhängige Zahlen \(\alpha _1\), \(\alpha _2\),\dots, \(\alpha _{n-1}\) von solcher Beschaffenheit, daß die \(n 1\) Ungleichungen \[ \biggl|\,\alpha _i-\frac{x_i}{z}\,\biggr|<\frac{k}{|\,z\,|^{\tfrac{n}{n-1}}} \] nicht unendlich viele Lösungen in ganzen Zahlen \(x_1\),\dots, \(x_{n-1}\), \(z\) aus \(k\bigl(i\sqrt{m}\bigr)\) haben. -- In \S\ 1 wird außer dem Nachweis der Existenz einer Relativminimalbasis zunächst der Spezialfall von Relativkörpern vom Relativgrade 2 untersucht. Der \S\ 2 dient der Berechnung der absolut kleinsten Relativdiskriminanten für die genannten Relativkörper zweiten Grades über \(k\bigl(i\sqrt{m}\bigr)\). In \S\ 3 wird der allgemeine Fall entwickelt. Methodisch lehnt sich die Arbeit an Untersuchungen von \textit{Furtwängler} (Math. Ann. 96 (1926), 169-175; 99 (1928), 71-83. F. d. M. 52, 184; 54, 212) an.