Existenz kürzester Wege. (Q5924230)

\textit{H. Hopf} und \textit{W. Rinow} (Commentarii math. Helvetici 3 (1931), 209-225; F.~d.~M. 57\(_{\text{I}}\), 871) haben für die ziemlich umfassende Klasse der ``abstrakten differentialgeometrischen Flächen'' den folgenden Existenzsatz bewiesen: Zu je zwei Punkten \(a\), \(b\) einer solchen Fläche gibt es entweder einen geodätischen Verbindungsbogen oder aber einen von \(a\) ausgehenden abbrechenden geodätischen Strahl, d. h. einen geodätischen Strahl, auf dem man von \(a\) aus nicht jede Länge abtragen kann. Diesen Satz verallgemeinert Verf. auf topologische Räume \(R\), in denen eine -- nicht notwendig symmetrische -- Entfernungsfunktion \((ab)\) erklärt ist, die folgenden Axiomen genügt: (1) \((ab) > 0\) für \(a \neq b\). (2) Die drei Relationen \(p_n \to p\), \((pp_n) \to 0\), \((p_n \, p) \to 0\) sind gleichbedeutend. (3) \((ab) + (bc) \geqq (ac)\) für jedes Punktetripel \(a\), \(b\), \(c\). (4) Zu jedem Punkt \(p\) gibt es eine positive Zahl \(r\) mit folgenden Eigenschaften: \(\quad\) (a) Ist \(q\) ein Punkt mit \((pq) \leqq r\), so existiert eine Strecke \(pq\). \(\quad\) (b) Ist \(q\) ein Punkt mit \((pq) > r\), so existiert ein Punkt \(x\) mit \((px) + (xq) = (pq)\) und \((px) = r\). Dabei ist unter einer ``Strecke'' \(ab\) das einem geodätischen Bogen entsprechende Gebilde zu verstehen, also ein stetiger Bogen \(x(t)\), \(0 \leqq t \leqq 1\), \(x(0) = a\), \(x(1) = b\), derart daß für irgend drei \(t\)-Werte \(0 \leqq t_1 \leqq t_2 \leqq t_3 \leqq 1\) gilt: \[ (x(t_1), \, x(t_2)) + (x(t_2), \, x(t_3)) = (x(t_1), \, x(t_3)). \] Ist also \(R\) überdies vollständig (vgl. \textit{Hopf}, \textit{Rinow} l. c.), so bestimmt jedes Punktepaar \(a\), \(b\) eine Strecke \(ab\).