Zur Theorie des Wasserstoffatoms. (Q5924254)

Im Impulsraum kann die \textit{Schrödinger}-Gleichung eines wasserstoffähnlichen Atoms als Integralgleichung \[ \dfrac{1}{2m}p^2\psi(\mathfrak{p}) - \dfrac{ze^2}{2\pi^2h}\int \dfrac{\psi(\mathfrak{p}')d\mathfrak{p}'}{|\mathfrak{p}-\mathfrak{p}'|^2} = E\psi (\mathfrak{p}) \tag{1} \] geschrieben werden, wobei \(d\mathfrak{p}' = dp_x'dp_y'dp_z'\) gesetzt ist. Indem Verf. die Größen \[ \dfrac{p_x}{p_0}, \dfrac{p_y}{p_0}, \dfrac{p_z}{p_0} \text{ mit } p_0=\sqrt{-2mE} \] als Koordinaten in einer Hyperebene deutet, die die stereographische Projektion der Einheitskugel in einem vierdimensionalen euklidischen Raum darstellt, gelangt er von (1) zu \[ \psi (\alpha, \vartheta, \varphi) = \dfrac{\lambda}{2\pi}\int \dfrac{\psi(\alpha', \vartheta', \varphi')d\Omega'}{4\sin^2\tfrac{\omega}{2}}, \tag{2} \] wobei \(\alpha, \vartheta, \varphi\) sphärische Koordinaten auf der Kugel sind, deren Flächenelement \(d\Omega\) ist. Die Größe \(\omega\) ist die Bogenlänge des die Punkte (\(\alpha, \vartheta, \varphi\)) und (\(\alpha', \vartheta', \varphi'\)) verbindenden Bogens des größten Kreises, und es sind weiter die Bezeichnungen \[ \lambda = \dfrac{Zme^2}{h\sqrt{-2mE}}, \;\psi(\alpha, \vartheta, \varphi) = \dfrac{\pi}{\sqrt{8}}p_0^{-\tfrac{5}{2}}(p_0^2+p^2)^2\psi(\mathfrak{p}) \] benutzt worden. Gleichung (2) erweist sich als identisch mit der Integralgleichung der Kugelfunktionen einer vierdimensionalen Kugel. Daher ist die vierdimensionale Drehgruppe die Transformationsgruppe der \textit{Schrödinger}gleichung. Das gibt eine Erklärung für die Entartung des Wasserstoffniveaus in bezug auf die Azimutalquantenzahl \(l\). Im Falle des Streckenspektrums (\(E > 0\)) ist die oben erwähnte Hyperkugel durch ein zweimanteliges Hyperboloid zu ersetzen. Die Methode führt unter Benutzung eines vom Verf. abgeleiteten Additionstheorems für vierdimensionale Kugelfunktionen zu rechnerischen Vereinfachungen in der Theorie des \textit{Compton}-Effektes an gebundenen Elektronen. Weiter wird ein vereinfachtes Atommodell angegeben, mit dem die Dichtematrix im Impulsraum, Atomformfaktoren usw. explicite berechnet werden können.