Die Probleme der modernen Galoisschen Theorie. (Q5924280)

Verf stellt in dem vorliegenden Bericht das Material zusammen, das für das Verständnis der Probleme der \textit{Galois}schen Theorie in ihrem jetzigen Stand notwendig ist. Unter \textit{Galois}scher Theorie versteht er in erweitertem Sinne alles, was die Begriffe ``rational'' und ``algebraisch-irrational'' einander gegenüberstellt. Dem Bericht ist ein Literaturverzeichnis der wichtigsten Arbeiten hinzugefügt. \S 1. Grundlagen der \textit{Galois}schen Theorie. Die Arbeiten von \textit{Mertens, Schatunowski, Loewy} beschäftigen sich mit einer neuen Grundlegung der klassischen \textit{Galois}schen Theorie unter Vermeidung der Begriffe ``Normalkörper'' und ``\textit{Galois}sche Resolvente''. \textit{Schatunowski} bestimmt ein System von Fundamentalmoduln so, daß der Restklassenkörper von \(K(x_1,x_2,\dots,x_n)\) nach diesen Moduln isomorph dem Wurzelkörper von \(f(x)=0\) wird; er erhält als Fundamentalmoduln die schon von \textit{Mertens} benutzten Funktionen. - Für den Standpunkt der modernen \textit{Galois}schen Theorie, die als \textit{Galois}sche Gruppe eines Normalkörpers die Automorphismengruppe dieses Körpers definiert, sind die Arbeiten von \textit{Krull} (in denen auch unendliche Erweiterungen behandelt werden) und \textit{Steinitz-Hasse-Baer} zu erwähnen. - Schwierig ist die Definition der \textit{Galois}schen Gruppe, wenn der Körper von höherem Transzendenzgrad ist als der Grundkörper. - Für einen Körper algebraischer Funktionen kann man die \textit{Galois}sche Gruppe als Gruppe der Transformationen der Werte der Funktionen (statt als Transformationsgruppe der Funktionen) auffassen. \S 2. Bei dem Problem der Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe unterscheidet Verf. die folgenden drei Aufgaben. I: Man finde irgendwelche Gleichungen mit einer vorgegebenen Gruppe. II. Man finde die allgemeinste Paramaterdarstellung der Koeffizienten aller derjenigen Gleichungen, deren Gruppe mit einer vorgeschriebenen Gruppe oder einer Untergruppe dieser Gruppe isomorph ist. III. Man stelle ein Verfahren I. auf, das, hinlänglich oft wiederholt, alle Gleichungen mit der gegebenen Gruppe ergibt. II. kann nach \textit{E. Noether} gelöst werden, wenn der \textit{Lagrange}sche Gattungsbereich der zur Gruppe gehörigen Funktionen eine Minimalbasis hat. Das Problem der Aufstellung einer rationalen Minimalbasis wurde hauptsächlich von \textit{S. Breuer, E. Fischer, Ph. Furtwängler} behandelt. III. kann nach einer Verallgemeinerung von Resultaten von \textit{Bauer} auch gelöst werden, wenn das Minimalbasisproblem erledigt ist. Daß man mit dieser Methode alle Gleichungen finden kann, folgt aus einer Arbeit des Verf. über Primzahlverteilung. I. kann gelöst werden, ohne daß eine Minimalbasis bekannt ist. - Ist \(k\) ein Körper über dem Körper \(P\) der ratioanlen Zahlen mit der Gruppe \(\mathfrak g\) und \(\mathfrak G\) eine Gruppe mit dem Normalteiler \(\mathfrak H\), so daß \({\mathfrak G}/{\mathfrak H}\) isomorph \(\mathfrak g\) ist, so bestimme man einen Relativkörper \(K\) über \(k\), dessen \textit{Galois}sche Gruppe über \(P\) die Gruppe \(\mathfrak G\) wird. Diese Aufgabe ist nicht immer lösbar; ihre Lösung hängt im allgemeinen nicht nur von \(\mathfrak G\), sondern auch von arithmetischen Eigenschaften der Körper ab; die Lösungsmehoden sind die der Klassenkörpertheorie. \textit{A. Scholz} hat einen besonderen Gruppentyp gefunden, die Dispositionsgruppen, für den die Aufgabe immer lösbar ist. (Der Begriff der Dispositionsgruppen ist vom Verf. verallgemeinert worden.) \S 3. Über die analytische Form der zu einer vorgeschriebenen Permutationsklasse gehörenden Primzahlen. Durch die \textit{Artin}-Symbole ist ein algebraischer Körper vollständig bestimmt. - Um die analytische Form einer Primzahl \(p\) zu bestimmen, die zu einer Permutation \(S\) von \(\mathfrak G\) (oder zu einer Abteilung von \(S\)) gehört, hat man festzustellen, ob \(p\) durch eine gewisse Form \(n\)-ten Grades (wo \(n\) der Grad des Körpers ist) darstellbar ist. Hat \(\mathfrak G\) einen \textit{Ablel}schen Normalteiler \(\mathfrak H\), so zerfallen diese Formen in gewisse Systeme, die den Idealklassen (Restklasseneinteilung nach einer gewissen Untergruppe), also den Permutationen von \(\mathfrak H\) entsprechen. Ob \(p\) zur Klasse von \(S_i\subset {\mathfrak H}\) gehört, entscheidet man dann danach, ob \(p\) durch eine Form des \(S_i\) zugeordneten Systems darstellbar ist oder nicht. - Von \textit{Speiser} stammt ein Verfahren, die Ordnung der Permutation zu finden, zu deren Klasse \(p\) gehört. \S 4. Resolventenproblem. Die Gleichung (A): \(x^n+a_1x^{n-1}+\cdots a_n=0\) mit den unbestimmten Koeffizienten \(a_i\) ist durch eine \textit{Tschirnhausen}transformation in eine Gleichung zu transofrmieren, unter deren Koeffizienten möglichst wenig unabhängige vorkommen. Mit diser Aufgabe hängt das \textit{Klein}sche Formenproblem und die Lösung der Gleichung fünften Grades zusammen. Das \textit{Hilbert}sche ``13. Problem'' stellt die Aufgabe, die Wurzeln einer Gleichung (A), die man als Funktionen von \(n\) Parametern auffassen kann, durch eine kleinere Anzahl \(k\) unabhängiger Parameter darzustellen. \textit{Wimann} zeigte, daß für \(n\geq 9\) immer \(k\leq n-5\) ist. Verf. führt dieses Problem auf das Problem der ``Einkleidungsgruppe'' einer Gruppe zurück. Er zeigt, daß eine algebraische Gleichung mit unbeschränkt veränderlichen Koeffizienten eine Resolvente mit \(k\) Parametern dann und nur dann besitzt, wenn ihre \textit{Galois}sche Gruppe eine Einkleidungsgruppe hat, die im \(k\)-dimensionalen Raum darstellbar ist. \S 5. Weitere Fragen der ellgemeinen Körpertheorie. Das Problem der Identität zweier Zahlkörper mit der gleichen Gruppe kann in folgender Weise gelöst werden. Es seien \[ \begin{aligned} x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots +a_n&=0,\\ y^n+b_1 y^{n-1}+\cdots +b_n&=0 \end{aligned} \] die erzeugenden Gleichungen der Körper \(k\) und \(K_1\), ihre Wurzeln \(x_i\) bzw. \(y_i\). Dann und nur dann ist \(K=K_1\), wenn eine der Größen \[ x_1^\nu y_1+x_2^\nu y_2+\cdots +x_n^\nu y_n\quad \text{für}\quad \nu = 1,2,\dots,n-1 \] rational ist. Für algebraische Funktionenkörper kann das Identitätsproblem im Fall nur einer Variabeln funktionentheoretisch gelöst werden; für mehrere Variable ist es unerledigt. - Die Frage nach der rationalen Minimalbasis (s. d. \S 2) der Unterkörper von \(K(x_1,\dots,x_n)\) ist für \(n=1\) von \textit{Lüroth}, für \(n=2\) von \textit{Castelnuovo} gelöst worden; für \(n=3\) gibt es nach \textit{Enriques} und \textit{Fano} einen Körper, der keine Minimalbasis hat. Der in \S 2 interessierende Fall, daß dieser Unterkörper den Körper der elementarsymmetrischen Funktionen enthält, ist unerledigt. - Das \textit{Hilbert-Dörge}sche Irreduzibilitätsproblem besteht darin, alle Werte \(t_i\) von \(t\) zu finden, für die die Gleichung \(f(x,t)=0\) in einem gegebenen Zahlkörper reduzibel wird. - Ferner werden das Problem des ``wahren Transzendenzgrades'' sowie die Rationalitätsfragen für die Perioden elliptischer und abelscher Integrale erwähnt. (III 5, 7.)