Non-commutative polynomials and cyclic algebras. (Q5924291)

Zur Bestimmung der in einer zyklischen Algebra enthaltenen Divisionsalgebra schlägt Verf. einen neuen Weg ein: \(\mathfrak F\) sei ein kommutativer Körper, \(\mathfrak F ' = \mathfrak F (a)\) ein zyklischer Oberkörper vom Grade \(r, S\) eine Erzeugende der galoisschen Gruppe von \(\mathfrak F '\) über \(\mathfrak F\). Die zyklische Algebra, definiert durch \[ x\cdot a = a^Sx,\tag{1} \] \[ \Pi \equiv x^r - \gamma = 0\qquad (\gamma \not = 0, \gamma \in \mathfrak F),\tag{2} \] die mit \(\mathfrak F'(\Pi )\) bezeichnet werde, wird als Restklassenalgebra modulo \(\Pi \) in dem nichtkommutativen Polynombereich \(\mathfrak F '[x]\) der Polynome in der einen Variablen \(x\) mit Koeffizienten aus \(\mathfrak F '\) und der Multiplikationsregel (1) aufgefaßt. Das Zentrum \(\mathfrak I [x]\) von \(\mathfrak F '[x]\) besteht aus allen Polynomen in \(x^r\) mit Koeffizienten aus \(\mathfrak F\). Jedes in \(\mathfrak I [x]\) irreduzible Polynom aus \(\mathfrak I [x]\) zerfällt (eindeutig bis auf Äquivalenzen) in ein Produkt äquivalenter in \(\mathfrak F '[x]\) irreduzibler Polynome; das gilt insbesondere für \(\Pi \). Ist \[ \Pi = P_1\cdot P_2\cdot \dots \cdot P_s \] eine solche Zerlegung in in \(\mathfrak F'[x]\) irreduzible Polynome vom Grade \(t\) (also \(r = s\cdot t\)), so ist \(t\) der Grad der in \(\mathfrak F '(\Pi )\) steckenden Divisionsalgebra, \(s\) der Grad der Matrixalgebra. Die Divisionsalgebra selbst ist isomorph der Divisionsalgebra \(\mathfrak F '(P_i)\), die als Restklassenalgebra des ``Normalisators'' (``Eigenring'' bei \textit{Ø. Ore} [J. Reine Angew. Math. 168, 233--252 (1932; JFM 58.0455.03; Zbl 0005.39601)] von \(P_i\) in \(\mathfrak F'[x]\) nach dem Ideal \(\mathfrak F'[x]\cdot P_i\) erhalten wird; \(P_i\) ist dabei ein beliebiger irreduzibler Faktor von \(\Pi \). Die Norm \(N(P)\) eines Polynoms \(P\) aus \(\mathfrak F'[x]\) wird definiert als die Determinante der Matrix \((p_{ik})\), wobei \[ x^{i-1}P = \sum ^r_{k=1} p_{ik}x^{k-1} \] und die \(p_{ik}\) Polynome in \(x^r\) mit Koeffizienten aus \(\mathfrak F '\) sind. Dann gehört diese Norm zu \(\mathfrak I [x]\). Der Grad \(t\) der in \(\mathfrak F '(\Pi )\) enthaltenen Divisionsalgebra ist dann auch die kleinste positive Zahl, für die \(\alpha \cdot \Pi ^t = N(P)\) wird für irgend ein \(\alpha \) in \(\mathfrak F\) und irgend einen irreduziblen Faktor \(P\) von \(\Pi \). Mit Hilfe dieser Begriffsbildungen werden verschiedene Resultate von \textit{H. Hasse} [Trans. Am. Math. Soc. 34, 171--214 (1932; JFM 58.1034.02)] und \textit{A. A. Albert} [Am. J. Math. 54, 1--13 (1932; JFM 58.0141.05; Zbl 0003.24405)] neu hergeleitet. Die Beweise im ersten Teil der Arbeit benutzen Ergebnisse von \textit{J. H. M. Wedderburn} [J. Reine Angew. Math. 167, 129--141 (1932; JFM 58.0148.01; Zbl 0003.20103)] und besonders von \textit{Ø. Ore} [Ann. Math. (2) 34, 480--508 (1933; JFM 59.0925.01; Zbl 0007.15101)].