Über numeri abundantes. (Q5924322)

Eine Zahl \(m\), für welche \[ \sigma (m)=\sum _{d\mid m}d\ge km \] ist, heiße \(k\)-abundant (\(k\ge 1\)). \(A(k,n)\) bezeichne die Anzahl der \(k\)-abundanten Zahlen \(\le n\). Eine \(k\)-abundante Zahl heiße primitiv \(k\)-abundant, wenn sie keinen echten \(k\)-abundanten Teiler besitzt. Verf. beweist die folgenden beiden Sätze: I. \[ \lim _{n\rightarrow \infty }\frac {A(k,n)}{n}=A(k) \] existiert für jedes \(k\) und ist eine stetige Funktion von \(k\). II. Sind \(a_1,a_2,\dots \) die primitiven \(k\)-abundanten Zahlen, und setzt man \[ A_\nu = \frac 1{a_\nu } -\sum _{\mu <\nu }\frac 1{a_{\mu \nu }} +\sum _{\lambda <\mu <\nu } \frac 1{a_{\lambda \mu \nu }}-\cdots +\frac {(-1)^{\nu -1}}{a_{12\dots \nu }}, \] (wo \(a_{\alpha \beta \dots \varrho }\) das kleinste gemeinsame Vielfache von \(a_\alpha, a_\beta,\dots, a_\varrho \) bedeutet), so ist \[ A(k)=\sum _{\nu =1}^\infty A_\nu. \] Der Beweis von Satz I (der übrigens unabhängig vom Verf. auch vom Ref. und von \textit{S. Chowla} (siehe das folgende Referat) bewiesen wurde), geschieht im Anschluß an ein Kriterium von \textit{I. Schoenberg} [Math. Z. 28, 171--199 (1928; JFM 54.0212.02)] und zwar \S \,3, Satz II). Verf. beweist nämlich erstens, daß \[ \lim _{n\rightarrow \infty }\frac 1n\sum _{\nu =1}^n\left (\frac {\nu }{\sigma (\nu )}\right )^s = \Phi (s) \] für jedes reelle oder komplexe \(s\) existiert und die Produktdarstellung \[ \Phi (s) = \prod _p\left \{1+\sum _{l=1}^\infty p^l\left [\left (\frac {1-p^{-l-1} }{1-p^{-1}}\right )^{-s} - \left (\frac {1-p^{-l}}{1-p^{-1}}\right )^{-s}\right ]\right \} \] besitzt, zweitens -- durch eine kleine Abänderung eines Schoenbergschen Verfahrens (Schoenberg beweist den gleichen Satz I für die Zahlen \(\frac {\varphi (\nu )}{\nu }\) statt \(\frac {\sigma (\nu )}{\nu }\), wo \(\varphi (\nu )\) die Eulersche Funktion bedeutet; loc. cit. \S \S 19--20, 196--198) -- daß \[ \int _0^x|\Phi (it)| \,dt = o(x). \] Hieraus folgt nach Schoenberg, daß die Zahlen \(\frac {\nu }{\sigma (\nu )}\) asymptotisch stetig verteilt sind, d. h. daß Satz I richtig ist. Der Beweis von II erfolgt unter Benutzung einer anderen Darstellung von \(A(k)\). Setzt man nämlich \[ \prod (P) = \prod _{p\le P}\left (1-\frac 1p\right ) \qquad (P \text{ Primzahl}) \] und \(\varepsilon _P(m)=1\), wenn jeder Primteiler von \(m\) kleiner oder gleich \(P\) ist, andernfalls \(=0\), so ist \[ A(k)=\lim _{P\rightarrow \infty }\prod (P)\sum _{\substack{ m=1\\ \frac {\sigma (m)}{m}\ge k}} ^\infty \frac {\varepsilon _P(m)}{m}, \tag{+} \] was mit Hilfe des schon bewiesenen Satzes I geschlossen wird. Hieraus schließt Verf. unter Benutzung der von \textit{Dickson} bewiesenen Tatsache, daß es nur endlich viele primitive \(k\)-abundante Zahlen gibt, die aus endlich vielen gegebenen Primzahlen gebildet sind, daß \[ \sum _1^\infty A_\nu \ge A(k) \] ist, was zusammen mit der trivialen Tatsache \[ \sum _1^\infty A_\nu \le A(k) \] den Satz II ergibt. (An früheren Arbeiten über abundante Zahlen vgl. \textit{L. E. Dickson} [Quart. J. 44, 264--296 (1913; JFM 44.0221.02); Am. J. Math. 35, 413--422 (1913; JFM 44.0220.02); ibid. 35, 423--426 (1913; JFM 44.0221.01)], \textit{F. Behrend} [Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl. 1932, 322--328 (1932); ibid. 1933, 280--293 (1933; JFM 59.0169.05)]; vgl. ferner: \textit{S. M. Shah}, vorstehendes Referat JFM 60.0146.01). Die sämtlichen Resultate, die hier für die Zahlen \[ f(\nu )= \frac \nu {\sigma (\nu )} \] gewonnen wurden, lassen sich auf alle zahlentheoretische Funktionen \(f(\nu )\) mit den folgenden Eigenschaften übertragen: 1. \[ 0<f(\nu )\le 1. \] 2. \[ f(\mu.\nu )=f(\mu ).f(\nu ), \text{ wenn } (\mu,\nu )=1; f(1)=1. \] 3. Es gibt zwei positive Konstanten \(C, c\) so, daß für alle Primzahlen \(p\) und alle \(l\ge 1\) die Ungleichung \[ 0\le f(p^{l-1})-f(p^l) \le Cp^{-lc} \] erfüllt ist. 4. Die Zahlen \(\log f(p)\) sind von einer gewissen Primzahl \(p\) an linear unabhängig, d. h. eine Relation \[ \sum _{i=1}^r C_i\log f(p_i)=0 \qquad (p_i\ge p_0) \] mit ganzen rationalen (nicht sämtlich verschwindenden) \(C_i\) ist unmöglich.