Proof of certain identities in combinatory analysis. (Q5924331)

Wird \[ \begin{aligned} G(x)&=1+\frac {x}{1-x}+\cdots +\frac {x^{n^2}}{(1-x)\cdots (1-x^n)}+\cdots,\\ H(x)&=1+\frac {x^2}{1-x}+\cdots +\frac {x^{n(n+1)}}{(1-x)\cdots (1-x^n)}+\cdots \end{aligned} \] gesetzt, so gelten die berühmten Identitäten von \textit{Rogers-Ramanujan}: \[ \begin{aligned} \frac {1}{G(x)}&=(1-x)(1-x^4)(1-x^6)(1-x^9)\cdots \\ \frac {1}{H(x)}&=(1-x^2)(1-x^3)(1-x^7)(1-x^8)\cdots, \end{aligned} \] bei denen die Exponenten rechts die Formen \(5k\pm 1\) bzw. \(5k\pm 2\) haben. In den hinterlassenen Manuskripten \textit{Ramanujan}s finden sich etwa 40 bemerkenswert schöne Formeln, in denen Funktionen vom Typus der \(G(x)\) und \(H(x)\) auftreten. Von diesen werden hier sechs bewiesen, denen zwei für die weiteren Beweise grundlegende Formeln \textit{Ramanujan}s vorangeschickt und zwei ebenfalls zum Beweise gebrauchte Formeln von \textit{Rogers} angefügt werden (Formel 3 und 7). Es wird gesetzt \[ \begin{gathered} f(a,b)=\sum _{-\infty }^{+\infty } a^{\frac 12 n(n+1)} b^{\frac 12n(n-1)},\\ \varphi (x)=f(x,x),\quad \psi (x)=f(x,x^3),\quad f(-x)=f(-x,-x^2),\\ \chi (x)=(1+x)(1+x^3)(1+x^5)\cdots. \end{gathered} \] Dann handelt es sich um die folgenden 10 Formeln: (1) \(\left (\varphi (x)\right )^2=\left (\varphi (x^5)\right )^2+4x\left (f(-x^{10})\right )^2\frac {\chi (x)}{\chi (x^5)}\), (2) \(\left (\psi (x)\right )^2=x\left (\psi (x^5)\right )^2+\left (f(-x^5)\right )^2\frac {\chi (-x^5)}{\chi (-x)}\), (3) \(G(x)G(x^4)+x\cdot H(x)H(x^4)=\left (\chi (x)\right )^2=\frac {1+2x+2x^4+2x^9+\cdots }{(1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)\cdots }\), (4) \(G(x)G(x^4)-x H(x)H(x^4)=\frac {1+2x^5+2x^{20}+2x^{45}+2x^{80}+\cdots }{(1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)\cdots }\), (5) \(G(x)H(-x)+G(-x)H(x)=\frac {2}{\left (\chi (-x^2)\right )^2}=\frac {2(1+x^2+x^6+x^{12}+\cdots )}{(1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)\cdots }\), (6) \(G(x)H(-x)-G(-x)H(x)=\frac {2x(1+x^{10}+x^{30}+x^{60}+\cdots )}{(1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)\cdots }\), (7) \(G(x^{11})H(x)-x^2G(x)H(x^{11})=1\), (8) \(G(x^{11})H(-x)+x^2G(-x)H(x^{11})=\frac {\chi (x^2)\chi (x^{22})}{\chi (-x^2)\chi (-x^{22})}-\frac {2x^3}{\chi (-x^2)\chi (-x^4)\chi (-x^{22})\chi (-x^{44})}\). Wenn \(G(x)G(x^{44})+x^9H(x)H(x^{44})=U\) und \(G(x^4)G(x^{11})+x^3H(x^4)H(x^{11})=V\) gesetzt wird, so ist (9) \(U^2+xV^2=\left (\chi (x)\chi (x^{11})\right )^3\), (10) \(UV+x=\left (\chi (x)\chi (x^{11})\right )^2\).