Sur certaines limites relatives aux polynômes de Lagrange et aux ensembles fermés. (Q5924332)

\(E\) sei eine abgeschlossene und beschränkte Menge in der komplexen Ebene, \((\zeta )\) ein System von verschiedenen Punkten \(\zeta _0,\dots,\zeta _n\) auf ihr, \(z\) ein beliebiger Punkt der Ebene. Verf. konstruiert nun zwei Funktionenfolgen \(r_n(z),s_n(z)\). Es seien \[ \begin{gathered} L_j(z,\zeta )=\prod _{i\atop i\neq j}\frac {z-\zeta _i}{\zeta _j-\zeta _i},\quad C_j(z,\zeta )=\prod _{i\atop i\neq j}\frac {z-\zeta _j}{\zeta _i-\zeta _j}\\ R_j(z,\zeta )=L_j(z,\zeta )C_j(z,\zeta ),\quad S_n(z,\zeta )=\prod _{j,k\atop j\neq k}\frac {z-\zeta _i}{\zeta _j-\zeta _i}\\ R_n(z)=\mathop {\operatorname{Min}}\limits _{(\zeta )}\left \{\mathop {\operatorname{Max}}\limits _{(j)}|R_j(z,\zeta )|\right \},\quad S_n(z)=\mathop {\operatorname{Min}}\limits _{(\zeta )}|S(z,\zeta )|. \end{gathered} \] Dann wird \[ r_n(z)=\root 2n\of {R_n(x)},\quad s_n(z)=\root n(n+1)\of {S_n(z)} \] gesetzt, und es wird gezeigt, daß, wenn der transfinite Durchmesser von \(E\) positiv ist, beide Folgen konvergieren, und zwar gegen ein und dieselbe Grenzfunktion, über deren Bedeutung leider nichts ausgesagt wird.