Sur quelques propriétés des fonctions d'une ou de deux variables réelles. (Q5924339)

Die Arbeit ist aufgebaut dem Begriff der \textit{Nörlund}schen ``\(n\)-ten Verhältnisdifferenz'' (``différence divisée'') einer Funktion \(f(x)\), die auf einer Menge \(E\) definiert ist. Sind nämlich \(n+1\) Punkte \(x_1,x_2,\dots,x_{n+1}\) von \(E\) gegeben, so ist die \(n\)-te Verhältnisdifferenz \([x_1,x_2,\dots,x_{n+1};f]\) auf dieser Punktgruppe definiert durch die Rekursionsformel \[ [x_1,x_2,\dots,x_{n+1};f]=\frac {[x_2,x_3,\dots,x_{n+1};f]-[x_1,x_2,\dots,x_n;f]}{x_{n+1}-x_n} \] und die Anfangsbeziehung \([x,f]=f(x)\); sie läßt sich auch als Quotient zweier \((n+1)\)-reihiger Determinatenten darstellen. Die Arbeit behandelt in ihrem ersten Teile (S. 3-58) Funktionen einer reellen Veränderlichen. Für solche kann die obere Grenze \(\overline {\lim }_{x_i\subset E}[x_1,x_2,\dots,x_{n+1};f]=\Delta _n[f;E]\) für alle Gruppen von \(n+1\) Punkten aus \(E\) bei festem \(n\) endlich sei; die Funktion heißt dann auf \(E\) von beschränkter \(n\)-ter Verhältnisdifferenz, die Zahl \(\Delta _n\) selbst die \(n\)-te Schranke von \(f\) auf \(E\). Für derartige Funktionen wird in Kap. I, \S {} 2 bewiesen, daß sie auch von beschränkter \((n-1)\)-ter Verhältnisdifferenz auf \(E\) sind, woraus sich Beschränktheit von \(f\) selbst auf \(E\) ergibt. Ist \(n>1\), so haben diese Funktionen endliche obere und untere Ableitungen auf \(E\) und sind somit gleichmäßig stetig auf \(E\). Ist \(E\) ein Intervall, so nimmt für \(n>0\) die \(n\)-te Verhältnisdifferenz derartiger Funktionen alle Zwischenwerte an; ist \(E\) dicht im Intervall \(J\) und \(\Delta _n[f;E]\) endlich, so existiert in \(J\) ein beliebig kleines Teilintervall \(J'\), für welches \(\Delta _n[f;EJ']=\Delta _n[f;E]\) gilt. Zwischen drei Schranken \(\Delta _p,\Delta _q,\Delta _r\), wobei \(p<q<r\) ist, besteht immer eine Beziehung der Form \(\Delta _q\leq A\Delta _p+B\Delta _r\); hierbei hängen die Koeffizienten \(A\) und \(B\) nur von der Menge \(E\) ab. Nunmehr seien \(m\) nach der Größe geordnete Werte \(x_1,x_2,\dots,x_m\) gegeben; bildet man mit ihrer Hilfe die \(m-n\) Verhältnisdifferenzen \(\Delta _n^i=[x_i,x_{i+1},\dots,x_{i+n};f]\) und von diesen die Summe \(v_n=\sum _{i=1}^{m-n-1}|\Delta _n^{i+1}-\Delta _n^i|\), so bezeichnet Verf. die Größe \(v_n\) als die \(n\)-te Variation von \(f\) auf der Punktgruppe. Betrachtet man bei veränderlichem \(m\) alle auf \(E\) möglichen Punktgruppen, so kann die obere Grenze \(V_n[f;E]\) aller Werte von \(v_n\) endlich sein; dann ist \(f\) auf \(E\) von beschränkter \(n\)-ter Totalvariation, wobei die Größe \(V_n\) als \(n\)-te Totalvariation von \(f\) auf \(E\) bezeichnet wird. Derartige Funktionen sind, wie in I, \S {} 3 bewiesen wird, stets auch von beschränkter \(n\)-ter Verhältnisdifferenz auf \(E\), während die Umkehrung nicht gilt; wohl aber ist jede Funktion von beschränkter \((n+1)\)-ter Verhältnisdifferenz auch von beschränkter \(n\)-ter Totalvariation, aber wiederum gilt die Umkehrung nicht. Es folgt nun aus der Endlichkeit der \(n\)-ten Totalvariation auch die der \((n-1)\)-ten, insbesondere also die Beschränktheit von \(f\) selbst. Ist \(f\) von \(n\)-ter und \(F\) von \((n+1)\)-ter beschränkter Totalvariation, so ist \(F(f)\) von beschränkter \(n\)-ter Totalvariation. Ist \(k<n+1\), so kann man aus der Beschränktheit der Totalvariation von \(f\) nicht die von \(f^k\) folgern, was ein Beispiel belegt. Im zweiten Kapitel des ersten Teiles definiert und untersucht Verf. Konvexitäten usw. höherer Ordnung; er nennt eine Funktion \(f\) auf \(E\) konvex, nichtkonkav, polynomial, nichtkonvex, konkav von \(n\)-ter Ordnung, wenn die \((n+1)\)-ten Verhältnisdifferenzen über alle Gruppen von \(n+2\) zu \(E\) gehörigen Punkten \(>0\), \(\geq 0\), \(=0\), \(\leq 0\), \(<0\) sind. Genügt \(f\) einer dieser Bedingungen, so heißt \(f\) eine Funktion \(n\)-ter Ordnung auf \(E\). Eine solche ist auf jeder ganz innerhalb \(E\) gelegenen Untermenge von \(E\) beschränkt; die Menge \(E\) selbst kann man \(k+1\) konsekutive Teilmengen zerlegen, auf deren jeder \(f\) von der Ordnung \(n-k\) ist. Ist übrigens eine Funktion \(n\)-ter Ordnung polynomial auf einer geordneten Punktgruppe \(x_1,x_2,\dots,x_{n+2}\), so ist \(f\) polynomial auf dem Intervall \((x_1,x_{n+2})\) liegenden Teil seines Differentionsbereiches. Ist \(E\) abgeschlossen, so nimmt \(f\) auf \(E\) seinen größten und seinen kleinsten Wert an; ist \(f\) konvex von \(n\)-ter Ordnung, so nimmt \(f\) seinen Maximalwert in höchstens \(\left [\frac {n+3}2\right ]\), seinen Minimalwert in höchstens \(\left [\frac {n+2}2\right ]\) Punkten an. Schließlich ist die Limesfunktion einer Folge von Funktionen \(n\)-ter Ordnung selbst eine Funktion \(n\)-ter Ordnung. In \S {} 2 dieses Kapitels wird für Funktionen von beschränkter \(n\)-ter Variation eine Zerlegung angegeben, welche eine Erweiterung der für \(n=0\) bekannten in zwei monotone Funktionen darstellt. Zu Beginn des dritten Kapitels läßt Verf. in der Verhältnisdifferenz \[ [x_1,x_2,\dots,x_{n+1};f] \] alle \(n+1\) Punkte unabhängig von einander nach einem Punkte \(x\) von \(E'\) konvergieren; ergibt sich ein eindeutiger endlicher Grenzwert, so wird er mit \(f_n(x)\) bezeichnet. Ist \(E\) abgeschlossen, so folgt aus der Existenz von \(f_n(x)\) in einem Punkte \(x\) von \(E^{(n)}\) die Existenz der gewöhnlichen \(n\)-ten Ableitung \(f^{(n)}(x)\) in diesem Punkte, und zwar ist \(f^{(n)}(x)=n!\,f_n(x)\). Ist \(E\) ein abgeschlossenes Intervall, so ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz von \(f^{(n)}\) auf \(E\) die gleichmäßige Stetigkeit der \(n\)-ten Verhältnisdifferenzen auf \(E\). Eine Funktion von beschränkter \(n\)-ter Variation hat stetige Ableitungen von der Ordnung \(1,2,\dots,n-1\); die erste Ableitung ist dann von beschränkter \((n-1)\)-ter Variation. Für jede in einem Intervall \((a,b)\) beschränkte Funktion \(n\)-ter Ordnung \((n>2)\) gelten schließlich die Abschätzungen \[ |f'(x)|<\frac 83\frac {2+\sqrt 3}{2-\sqrt 3}\frac {n^2}{b-a}|\Delta _0|\quad \text{und}\quad |f'(x)\sqrt {(x-a)(b-x)}|<2\frac {2+\sqrt 3}{2-\sqrt 3}n|\Delta _0|, \] wenn \(x\) dem Intervall \((a+\lambda, b-\lambda )\) angehört, das durch \(\lambda =(b-a)\frac {1-\cos \frac \pi n}{1+\cos \frac \pi n}\) definiert ist. Diese Abschätzungen ähneln sehr den \textit{Markoff-Bernstein}schen Abschätzungen für die Ableitung eines Polynomes \(n\)-ten Grades (Vgl. \textit{S. Bernstein}, Leçons sur les propriétés extrémales et la meilleure approximation des fonctions analytiques d'une variable réelle, 1926; F. d. M. 52, 256 (JFM 52.0256.*)); man kann also sagen, daß in dem angegebenen Teilintervall die Funktion \(n\)-ter Ordnung sich fast wie ein Polynom \(n\)-ten Grades verhält. Das vierte Kapitel weist nach, daß für mehrere der behandelten Eigenschaften schon die \(n\)-te Konvexität nach \textit{Jensen} (1906; F. d. M. 37, 422 (JFM 37.0422.*)) genügt, die mit Hilfe von nur äquidistanten Punktgruppen definiert ist. Der in zwei Kapitel zerfallende zweite Teil dehnt einen großen Teil der im ersten Teil gewonnen Begriffe und Sätze sinngemäß auf Funktionen zweier Veränderlichen aus.