Some new convergence criteria for Fourier series. (Q5924354)

Das Konvergenzproblem bei \textit{Fourier}reihen kann stets zu der folgenden Frage normiert werden: Wann kann aus der Zuordnung \[ \varphi (t) \sim \sum _{n=1}^\infty a_n \cos nt \] auf \(\sum _{n=1}^\infty a_n=0\) geschlossen werden? Es handelt sich hier um neue Konvergenzkriterien vom folgenden Typus: Hinreichend ist \(\varphi (t)\to 0\) für \(t\to 0\) und \(a_n=O\left (\frac 1n\right )\). Dieser Satz ist eine unmittelbare Folge des Umkehrsatzes der \(C\)-Verfahren. Die Verf. beweisen nun zunächst durch direkte Betrachtung des \textit{Dirichlet}schen Integrals: Hinreichend ist \(\varphi (t)=0\left \{\left (\log \frac 1t\right )^{-1}\right \}\) und \(a_n=O\left (\frac 1{n^\delta }\right )\) für ein \(\delta >0\). Die Koeffizientenbedingung kann nicht abgeschwächt werden. Hinreichend ist aber auch \(\varphi (t)=O\left \{\left (\log \frac 1t\right )^{-1}\right \}\) und \(a_n=O\left (\frac 1{n^{1-\delta }}\right )\) für alle \(\delta >0\). Durch Heranziehung von Umkehrsätzen der \textit{Valiron}schen Verallgemeinerung des \textit{Borel}schen Summierungsverfahrens können auch entsprechende ``einseitige'' Koeffizientenbedingungen erreicht werden. Es folgen Kriterien vom \textit{Young}schen Typus, z. B: Hinreichend ist \(\varphi (t)=o\left \{\left (\log \frac 1t\right )^{-1}\right \}\), \(\varphi (t)\) ein Integral außer in \(t=0\), \(\varphi '(t)>-\frac C{t^\delta }\) für ein \(\delta >0\). Zum Schlusse werden zwei Sätze über die \textit{Riemann}sche Summierung erster Ordnung gegeben.