Sur une classe de développements en série. (Q5924367)

Die Potenzreihe \[ \sum _{n=0}^\infty c_n\frac {z^n}{n!}\tag{1} \] kann aufgefaßwerden als eine Funktionenreihe, die nach den aufeinanderfolgenden, für \(n\geq 1\) im Nullpunkt verschwindenden Stammfunktionen von 1 fortschreitet. Verf. geht nun allgemeiner von einer ganzen Funktion \[ \varphi (z) =1+a_1z+\dots +a_n\frac {z^n}{n!}+\dots \] aus und betrachtet Reihen der Form \[ \sum _{n=0}^\infty c_n\varphi (z,n), \quad \text{wobei}\quad \varphi (z,n)=\frac {z^n}{n!}+a_1\frac {z^{n+1}}{(n+1)!}+\dots \quad (n=0,1,2,\dots )\tag{2} \] die für \(n\geq 1\) im Nullpunkt verschwindende \(n\)-te Stammfunktion von \(\varphi (z)\) bedeutet. Das Ergebnis der Untersuchung ist, daß\ sich die Reihe (2) und durch sie definierte analytische Funktion \(F(z)\) weitgehend ebenso verhalten, wie die zu (2) ``assoziierte'' Reihe (1) bzw. die durch (1) definierte, zu \(F(z)\) ``assoziierte'' Funktion \(G(z)\). Um einige Resultate herauszugreifen, so stimmt das Konvergenzgebiet von (2) mit dem Konvergenzkreis von (1) überein, und zwar konvergiert auch (2) in jedem abgeschlossenen Teilbereich desselben gleichmäßig, liefert also eine analytische Funktion. Umgekehrt läßt sich bei gegebenem \(\varphi (z)\) jede im Nullpunkt analytische Funktion \(F(z)\) auf genaue eine art in eine Reihe der Form (2) entwickeln und der konvergenzradius dieser Entwicklung stimmt überein mit dem der \textit{Taylor}-Entwicklung von \(F(z)\) im Nullpunkt. Ferner stimmen die Konvergenz- und Divergenzpunkte von (2) am Rande des Konvergenzkreises überein mit denen von (1), und in den Konvergenzpunkten gilt auch für (2) der \textit{Abel}sche Stetigkeitssatzes von \textit{Hardy-Littlewood} und \textit{Fejér} auf Reihen der Form (2). Weiter ist der \textit{Mittag-Leffler}sche Hauptstern von \(F(z)\) derselbe wie der von \(G(z)\). Die Koordinaten der singulären Punkte von \(F(z)\) und \(G(z)\), nicht aber die Natur der Singularitäten, stimmen überein. Endlich lassen sich Methoden der analytischen Fortsetzung, z. B. die Fortsetzung mit Hilfe des {Borel}schen Integrals, von (1) auf (2) übertragen.