Exponential polynomials. (Q5924374)

Verf. betrachtet zunächst die verallgemeinerten \textit{Hermite}schen Polynome \[ \xi _n(x,t,r)=\exp (-xt^r)\frac {d^n}{dt^n}(\exp (xt^r))\equiv n!\sum \limits _{h=a}^n\frac {x^ht^{rh-n}}{h!}\sum \limits _{s=0}^b(-1)^h\binom hs \binom {r(h-s)}{n} \] \[ \left (a=n-\left [\frac {n(r-1)}{r}\right ],\quad b=\left [\frac {rh-n}{r}\right ]\right ) \] und beweist neben einigen Identitäten, daß\ sie, wenn \(r>2\) ist, keiner Differentialgleichung konstanter Ordnung genügen. Weiterhin untersucht er unter Verwendung der \textit{Blissard}schen Umbrensymbolik (vgl. z. B. Verf. [Tôhoku Math. J. 26, 391--405 (1926; JFM 52.0354.01)]) die durch \(\varphi _n(\alpha _1,\dots,\alpha _n)=\alpha (\varphi +\alpha )^{n-1}\) definierten Polynome. Sie sind \textit{Appellsche} Polynome in \(\alpha \) und haben die Eigenschaft, daß\ Ableitungen, Integrale und endliche Differenzen eines Polynoms sich als lineare Verbindung andrer Polynome derselben Art darstellen lassen. Außerdem genügen sie gewissen Kongruenzen; z. B. gilt, wenn \(p\) eine Primzahl ist \[ \varphi _p\equiv \alpha _1^pp+\alpha _p\pmod p. \] Die Polynome \[ Y_n=e^{-y}\frac {d^n}{dt^n}e^y\quad \left (y=\alpha _1t+\alpha _2\frac {t^2}{2!}+\alpha _3\frac {t^3}{3!}+\dotsb \right ) \] sind Verallgemeinerungen der \(\xi _n\) mit entsprechenden Eigenschaften. Schließlich stellt Verf. einige formale Eigenschaften von \[ \psi _m(x;\beta ;r)=m!\sum \limits_{n=0}^{\left [\frac mr\right ]}\frac {\beta _{m-sr}x^s}{(m-sr)!s!} \] auf, u. a. eine Differentialgleichung, wieder unter Heranziehung der Umbrensymbolik. Die \(\psi_m\) sind Verallgemeinerungen der \textit{Appell}schen Polynome. (Wegen der \(\xi_n\) vergleiche auch [\textit{Pólya-Szegö}, Aufgaben und Lehrsätze. Bd. II (1925; JFM 51.0173.01)), S. 46, Aufg. 59].)