The inversion of the Laplace integral and the related moment problem. (Q5924389)

\[ \text{I. Umkehrungsformeln} \] Es gibt zwei Möglichkeiten, die Koeffizienten einer Potenzreihe \(\sum \limits _0^\infty a_nz^n\) aus der dargestellt Funktion \(F(z)\) zu gewinnen: \[ a_n=\frac 1{2\pi i}\oint \frac {F(z)}{z^{\eta +1}} dz \] und \[ a_n=\frac {F^{(n)}(0)}{n!}. \] Bei dem \textit{Laplace}-Integral \(f(x)=\int \limits _0^\infty e^{-xt}\varphi (t)\) entspricht der ersten Möglichkeit die altbekannte Umkehrungsformel \[ \varphi (t)=\frac 1{2\pi i}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }f(x)e^{xt}dx, \] der zweiten aber eine erst 1930 von \textit{E. L. Post} (F. d. M. \(56_{\text I}\), 349) für den Fall eines stetigen \(\varphi \) bewiesene Formel. An diese knüpft Verf. an und erweitert sie auf den Fall, daß\ \(f(x)\) durch ein \textit{Laplace-Stieltjes}-Integral \[ f(x)=\int \limits _0^\infty e^{-xt}d\alpha (t) \] bzw. durch ein \textit{Laplace-Lebesgue}-Integral \[ f(x)=\int \limits _0^\infty e^{-xt}\varphi (t)dt \] dargestellt ist. Definition: Ein Operator \(S_t[f(x)]\) wird folgendermaßen definiert: \[ S_{k,t}[f(x)]=f(\infty )+(-1)^{k+1}\int \limits _{\frac kt}^\infty \frac {u_k}{k!}f^{(k+1)}(u)du\quad (k=0,1,\dots ), \] \[ S_t[f(x)]=\underset {k\rightarrow \infty } \lim S_{k,t}[f(x)]. \] Satz 2. Wenn \[ f(x)=\int \limits _0^\infty e^{-xt}d\alpha (t) \quad (\alpha (0)=0) \] für \(x>c\) konvergiert, dann ist der Operator \(S_t\) auf \(f\) anwendbar und liefert \(\alpha (t)\): \[ S_t[f(x)]=\frac {\alpha (t+0)+\alpha (t-0)}2. \] Definition: Ein Operator \(L_t[f(x)]\) wird folgendermaßen definiert: \[ L_{k,t}[f(x)]=\frac {(-1)^k}{k!}f^{(k)}\left (\frac kt\right )\left (\frac kt\right )^{k+1}, \] \[ L_t[f(x)]=\underset {k\rightarrow \infty } \lim L_{k,t}[f(x)]. \] Satz 4. Ist \(\varphi (t)\) in \((0,R)\) für jedes \(R>0\) im \textit{Lebesgue}schen Sinne integrabel und konvergiert \[ f(x)=\int \limits _0^\infty e^{-xt}\varphi (t)dt \] für \(x>c\), so ist der Operator \(L_t\) auf \(f\) anwendbar und liefert \(\varphi (t)\): \[ L_t[f(x)]=\varphi (t) \] für fast alle \(t\). Satz 5. Ist \(\varphi (t)\) in \((0,R)\) für jedes \(R\) von beschränkter Variation und konvergiert \[ F(x)=\int \limits _0^\infty e^{-xt}\varphi (t)dt \] für \(x>c\), so ist \[ L_t[F(x)]=\frac {\varphi (t+0)+\varphi (t-0)}2. \] Satz 13. \(\alpha (t)\) sei in \((0,R)\) für jedes \(R>0\) von beschränkter Variation und besitze in \(t_0>0\) eine rechts- und linksseitige Derivierte. Konvergiert \[ f(x)=\int \limits _0^\infty e^{-xt}d\alpha (t)dt \] für gewisse \(x\), so ist \[ L_{t_0}[f(x)]=\frac {\alpha ^\prime +(t_0)+\alpha _-^\prime (t_0)}2. \] Beziechung zwischen den Operatoren S und L: Ist \[ f(x)=\int \limits _0^\infty e^{-xt}\varphi (t)dt, \] so ist \[ S_t[f(x)]=\int \limits _0^t\varphi (u)du,\quad L_t[f(x)]=\varphi (t). \] Die iterierten Integrale von \(S_{k,t}\) streben für \(k\rightarrow \infty \) gegen die entsprechenden Integrale von \(\varphi \) und die Ableitungen von \(L_{k,t}[f(x)]\) gegen die entsprechende Ableitungen von \(\varphi \). \[ \text{II. Darstellung von Funktionon als \textit{Laplace}-Integrale}. \] Während Teil I von Funktionen handelte, deren Darstellbarkeit durch ein \textit{Laplace}-Integral bekannt war, werden jetzt Funktionen betrachtet, für die die Operatoren \(L\) und \(S\) Sinn haben, und dadurch notwendige und hinreichende Bedingungen für die Darstellbarkeit einer Funktion als \textit{Laplace}-Integral abgeleitet. Satz 15. Besitz \(F(x)\) sämtliche Ableitungen in \(0<x<\infty \),und ist \[ \left |F^{(k)}(x)\right |<\frac {Mk!}{x^{k+1}}\quad (x>0;k=0,1,\dots ), \] so gilt: \[ \underset {k\rightarrow \infty } \lim \int \limits _0^\infty e^{-xt}L_{k,t}[F(x)]dt=F(x). \] Satz 16. Besitzt \(f(x)\) sämtliche Ableitungen in \(0<x<\infty \), und ist \[ \left |\int \limits _x^\infty \frac {u^k}{k!}f^{(k+1)}(u)du\right |<M\quad (x>0;k=0,1,\dots ), \] so gilt: \[ \underset {k\rightarrow \infty } \lim \int \limits _0^\infty e^{-xt}dS_{k,t}[f(x)]=f(x)-f(\infty ), \] wo \(S_{k,0}[f(x)]\) durch \(f(\infty )\) zu definieren ist. Verfügt man über Voraussetzungen, die in den Sätzen 15 und 16 die Vertauschung des Integrals mit dem Grenzübergang \(k\rightarrow \infty \) gestatten, so besitzt man einen Darstellungssatz. So ergibt sich auf durchsichtige Weise ein von \textit{S. Bernstein} (1929; F. d. M. \(55_{\text I}\), 142) bewiesener Satz: Satz 18. Notwendig und hinreichend dafür, daß\ \(f(x)\) für \(x>c\) vollmonoton ist, d. h. Ableitungen aller Ordnungen besitzt, die den Ungleichungen \[ (-1)^kf^{(k)}(x)\geqq 0 \] genügen, ist, daß\ \(f(x)\) die Gestalt \[ f(x)=\int \limits _0^\infty e^{-xt}d\alpha (t) \] hat, wo \(\alpha (t)\) nicht abnehmend ist und das Integral für \(x>c\) konvergiert. \[ \text{III. Anwendungen.} \] In Verallgemeinerung von Ergebnissen von \textit{Laguerre} (Œurves T. I, 1898 (F. d. M. 29, 9 (JFM 29.0009.*)), p. 29) werden Sätze von folgendem Typus bewiesen: Satz 22. Wenn \(\alpha (t)\) in jedem Intervall \((0,R)\) von beschränkter Variation ist und \(n\) Richtungswechsel im Intervall \((0,\infty )\) hat, d. h. (abgesehen von gewissen Präzisierungen) wenn \((0,\infty )\) in \(n+1\) Teilintervalle zerfällt, wo \(\alpha (t)\) abwechselnd zunehmend und abnehmend ist, so besitzt die Funktion \[ f(x)=\int \limits _0^\infty e^{-xt}d\alpha (t) \] höchstens \(n\) Nullstellen im Konvergenzintervall des Integrals. Ferner werden die Umkehrungsformeln aus Teil I auf die speziellen Fälle angewendet, daß\ \(f(x)\) eine \textit{Dirichlet}sche oder Potenz- oder Fakultätenreihe ist. Für die \textit{Stieltjes}-Transformation \[ f(x)=\int \limits _0^\infty \frac {d\alpha (t)}{x+t}, \] die ja in gewissen Fällen durch Hintereinanderschalten zweier \textit{Laplace}-Transformationen entsteht, wird gezeigt, daß\ sie sich durch Hintereinanderschalten der Operatoren \(L\) und \(S\) umkehren läßt: \[ S_t\left [L_y[f(x)]\right ]=\frac {\alpha (t+0)+\alpha (t-0)}2. \] \[ \text{IV. Komplexe Variable} \] Bisher waren die Variablen \(t\) und \(x\) in \(\varphi \) und \(f\) reell. Nun werden sie als komplex angesehen (und durch \(z=x+iy\) und \(s=\sigma +i\tau \) ersetzt) und die Funktionen als regulär in Halbebenen vorausgesetzt. Es zeigt sich, daß\ manche Ergebnisse aus Teil I und III auf diese Erweiterung übertragbar sind. Satz 31. Ist \(f(s)\) im Unendlichen regulär und \(f(\infty )=0\), dann existiert \(L_z[f(s)]\) für alle komplexen \(z\) und definiert eine ganze Funktion \(\varphi (x)\). Ferner ist in einer gewissen Halbebene \[ f(s)=\int \limits _0^\infty e^{-sz}\varphi (z)dz. \] Satz 32. Ist \(\varphi (x)\) regulär in der Halbebene \(x>0\) und \[ f(s)=\int \limits _0^\infty e^{-sz}\varphi (z)dz \] für ein \(s\) konvergent, so gilt \[ \underset {k\rightarrow \infty } \lim L_{k,s}[f(s)]=\varphi (z) \] gleichmäßig in jedem abgeschlossenen Bereich in der Halbebene \(x>0\). Satz 33. \(f(s)\) sei im Unendlichen regulär und \[ f(s)=\int \limits _0^\infty e^{-sz}\varphi (z)dz. \] Hat \(\varphi (z)\) in \(0<|z|<l\) \(n\) Nullstellen, so gibt es eine ganze Zahl \(k_1\), so daß\ \(f^{(k)}(s)\) \(n\) Nullstellen in \(\frac {k_1}l< |s|<\infty \) für \(k\geqq k_1\) besitzt. \[ \text{V. Das Momentenproblem.} \] Das zur Aufgabe der Umkehrung der \textit{Laplace}-Transformation analoge Momentenproblem, aus den \(\mu _n\) die vermöge \[ \mu _n=\int \limits _0^1t^nd\alpha (t) \] zueorgnete Funktion \(\alpha (t)\) zu bestimmen, läßt sich vermittels gewisser Operatoren lösen, die aus den in Teil I benutzen dadurch entstehen, daß\ man die Ableitungen durch Differenzen und die Integrale durch Summen ersetzt. Definition der Operatoren: \[ S_{k,t}\{\mu _n\}=-\mu _\infty -\sum \limits _{i=n+1}^\infty \frac {(i+k)!}{i!k!}(-1)^{k+1} \varDelta ^{k+1}\mu _i\quad \left (n=\left [\frac {kt}{1-t}\right ]\right ), \] \[ S_t\{\mu _n\}=\underset {k\rightarrow \infty } \lim S_{k,t}\{\mu _n\}; \] \[ L_{k,t}\{\mu _n\}=\frac {(n+k+1)!}{n!k!}(-1)^k\varDelta ^k\mu _n\quad \left (n=\left [\frac {kt}{1-t}\right ]\right \}, \] \[ L_t\{\mu _n\}=\underset {k\rightarrow \infty } \lim L_{k,t}\{\mu _n\}. \] Satz 37. Ist \(\alpha (t)\) von beschränkter Variation in \((0,1)\) und \(\alpha (1)=0\), ist ferner \[ \mu _n=\int \limits _0^1t^nd\alpha (t)dt\quad (n=0,1,\dots ), \] so gilt fast überall in \((0,1)\) \[ L_t\{\mu _n\}=\varphi (t). \] Satz 40 (Eindeutigkeitssatz). Genügt die Folge \(\{\mu _n\}\) den Ungleichungen \[ |\varDelta ^k\mu _n|<\frac {Mn!k!}{(n+k+1)!}\quad (n,k=0,1,\dots ), \] so ist \[ \mu _m=\underset {k\rightarrow \infty } \lim \int \limits _0^1t^mL_{k,t}\{\mu _n\}dt\quad (m=0,1,\dots ). \] Ein analoger Satz gilt für \(S_t\) und \textit{Stieltjes}-Integrale. So wie in Teil II der \textit{S. Bernstein}sche Satz, ergibt sich jezt hier ein Satz von \textit{Hausdorff} (1932; F. d. M. 49, 193 (JFM 49.0193.*)). Satz 42. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß\ die Gleichungen \[ \mu _n=\int \limits _0^1t^nd\alpha (t) \quad (n=0,1,\dots ) \] eine beschränkte, nicht abnehmende Lösung \(\alpha (t)\) besitzen, besteht darin, daß\ die Folge \(\{\mu _n\}\) vollmonoton ist: \[ (-1)^k\varDelta ^k\mu _n\geqq 0\quad (k,n=0,1,\dots ). \] Außerdem werden noch einige Sätze bewiesen, die denen von Teil III und IV analog sind.