The composition of linear differential systems. (Q5924404)

Verf. behandelt die Frage der Zurückführung einer Randwertaufgabe \[ \begin{cases} Ry=(D^r+r_1(x)D^{r-1}+\dotsb +r_r(x))y=f(x),\\[U_iy]_a+[V_iy]_b=\gamma _i\quad (i=1,2,\dotsc,r)\end{cases} \leqno (1) \] - \(U_i\) und \(V_i\) sind lineare Differentialoperatoren von höchstens der Ordnung \((r-1)\) - aus zwei Randwertaufgaben \[ \begin{cases} Pz=(D^p+p_1(x)D^{p-1}+\dotsb +p_p(x))z=f(x),\\[A_iz]_a+[B_iz]_b=\delta _i\quad (i=1,2,\dotsc,p)\end{cases} \leqno (2) \] und \[ \begin{cases} Qy=(D^q+q_1(x)D^{q-1}+\dotsb +q_q(x))y=z,\\[C_iy]_a+[D_iy]_b=\varepsilon _i\quad (i=1,2,\dotsc,q),\end{cases} \leqno (3) \] wobei \(p+q=r;A_i,B_i,\) bzw. \(C_i,D_i\) sind lineare Differentialoperatoren von höchstens der Ordnung \((p-1)\) bzw. \((q-1)\). Die Koeffizienten \(r_k(x),p_k(x),q_k(x)\) sollen in \(\left <a,b\right >\) hinreichend oft differenzierbar sein. I. Wenn \(R\) sich als Produkt \(P\cdot Q\) zweier Operatoren \(P\) und \(Q\) darstellen läßt, und wenn \(p\) linear unabhängige Kombinationen der Randbedingung bei (1) von der Form \[ [A_iQy]_a+[B_iQy]_b=\delta _i\quad (i=1,2,\dotsc,p) \] existieren, so kann \(q\) linear unabhängige Randbedingungen für (3), d. h. die Zahlen \(\varepsilon _i\) und die Operatoren \(C_i,D_i\) so bestimmen, daß\ das Randwertproblem (1) mit den simultanen Randwertproblemen (2) und (3) äquivalent ist. II. Wird das System \[ Qy=0,\quad [C_iy]_a+[D_iy]_b=0\quad (i=1,2,\dotsc,q)\leqno (\beta y) \] mit dem Operatorensystem \[ P,\quad [A_i]_a+[B_i]_b\quad (i=1,2,\dotsc,p)\leqno (\alpha ) \] zu dem System \[ PQy=0,\quad \begin{cases} \l \quad &\r \\[A_iQy]_a+[B_iQy]_b=0&(i=1,2,\dotsc,p),\\[C_iy]_a+[D_iy]_b=0&(i=1,2,\dotsc,q)\end{cases} \leqno (\beta \alpha y) \] verknüpft, so heißt \((\beta \alpha y)\) das Produkt von \((\beta y)\) und \((\alpha )\). Haben die beiden homogenen Randwertaufgaben \((\alpha y)\) bzw. \((\beta y)\) die \textit{Green}schen Funktionen \(K(x,\zeta )\) bzw. \(L(x,\zeta )\), so ist \[ M(x,\zeta )=\int \limits _a^bL(x,\eta )\cdot K(\eta,\zeta )d\eta \] die \textit{Green}sche Funktion der Randwertaufgabe \((\beta \alpha y)\). III. Bezeichnet \((\alpha ^\prime y)\) das zu \((\alpha y)\) adjungierte System, so ist, wenn \[ (\alpha ),(\beta ),\dotsc,(\varkappa ),(\lambda ) \] irgendwelche Operatorensysteme sind, \[ (\alpha \beta \dotsc \varkappa \lambda )^\prime =(\lambda ^\prime \varkappa ^\prime \dotsc \beta ^\prime \alpha ^\prime ); \] für jedes System \((\alpha )\) sind also \((\alpha \alpha ^\prime )\) und \((\alpha ^\prime \alpha )\) selbstadjungiert. Beduten \(\varPhi _n(x)\) und \(\varPsi _n(x)\) dem Eigenwert \(\lambda _n^2\) zugeordnete Eigenfunktionen der Randwertaufgaben \((\alpha \alpha ^\prime y)\) bzw. \((\alpha ^\prime \alpha y)\), so hat die Randwertproblem \[ Py=f(x),\quad [A_iy]_a+[B_iy]_b=0\quad (i=1,2,\dotsc,p), \] wobei \[ f(x)=\sum \limits _{n=1}^\infty a_n\varPsi _n(x) \] und diese Reihe in \(\left <a,b\right >\) gleichmäßig konvergent ist, die Lösung \[ y(x)=\sum \limits _{n=1}^\infty \frac {a_n}{\lambda _n}\varPhi _n(x). \] IV. Einige Bemerkungen über permutierbare Operatorensysteme; das sind solche, bei denen \((\alpha \beta )\) dasselbe ist wie \((\beta \alpha )\).