Sufficient conditions for the problem of Bolza in the calculus of variations. (Q5924421)

Das überraschende Ergebnis dieser wichtigen und sorgfältig durchgeführten Abhandlung ist, daß\ für das \textit{Lagrange}sche Problem mit allgemeinen (\textit{Bolza}schen) Randbedingung die bisher stets bei der Herleitung hinreichender Bedingungen gestellte Forderung der Normalität des untersuchten Extremalenbogens in Wegfall kommt. Es erweisen sich nämlich die Bedingungen von \textit{Clebsch} und \textit{Weierstraß} (in der bei den hinreichenden Bedingungen üblichen stärkeren Form) zusammen mit der Bedingung, daß\ die zweite Variation positiv definit ist, für ein Minimum als ausreichend. Dabei werden für den positiv definiten Charakter der zweiten Variation notwendige und hinreichende Bedingungen angegeben, die besonders einfach sind, wenn die ``Anormalitätsordnung'' für jeden Teilbogen der Extremale die gleiche ist, was im Fall eines analytischen Variationsproblems stets eintritt. Von den zahlreichen interessanten Einzelheiten der Arbeit sei noch folgende hervorgehoben: Es genügt, die Theorie für den (einfacheren) Fall ``separierter'' Randbedingungen (d.h. für Randbedingungen, durch die Lagen von Anfangs- und Endpunkt nicht gekoppelt sind) zu entwickeln. Der allgemeine Fall läßt sich dann in fast trivialer Weise hierauf zurückführen.