Iterative interpolation. (Q5924437)

Auf Grund des Satzes: Sind \(p(x)\) und \(q(x)\) zwei Polynome vom Grade \(n-1=\gamma _1+\gamma _2+\cdots +\gamma _r-2\), die in den Funktionswerten und den \(\gamma _1-1,\gamma _2-1,\cdots,\gamma _r-2\) bzw. \(\gamma _1-2,\gamma _2-1,\cdots,\gamma _r-1\) ersten Ableitungen in den Punkten mit den Abscissen \(c_1,c_2,\cdots,c_r\) mit einer Funktion \(u(x)\) übereinstimmen, so ist \[ f(x)=\frac {c_r-x}{c_r-c_1}p(x)+\frac {x-c_1}{c_r-c_1}q(x) \] ein Polynom, das mit \(u(x)\) an diesen Stellen im Funktionswert und den \(\gamma _1-1,\gamma _2-1,\cdots,\gamma _r-1\) ersten Ableitungen übereinstimmt, wird ein aus einer Tafel durch eine Interpolationsformel \(n\)-ter Ordnung zu bestimmender Wert durch \(\frac 12n(n+1)\) wiederholte lineare Interpolationen berechnet. Eine solche Auflösung läßt sich sowohl für Interpolationsformeln durchführen, die nur die Funktionswerte benutzen, wie etwa die von \textit{Laplace-Everett}, auf die hier näher eingegangen wird, wie auch für oskulierende Interpolationsformeln. Als Beispiel für den Fall nicht äquidistanter Funktionswerte wird die inverse Interpolation und die Interpolation an solchen Stellen der Tafel behandelt, in denen sich der Argumentschritt der aufgezeichneten Werte ändert. Im übrigen werden für äquidistante Werte Rechenschemata gegeben für den Fall, daß\ bei Auflösung in lineare Schritte nur Funktionswerte, wie auch Funktionswerte und Ableitungen gegeben werden, und auch für den Fall, daß\ die Interpolationsformel \(n\)-ter Ordnung in Schritte zweiter Ordnung zerlegt wird. Da die Untersuchung der Abhängigkeit der Fehler von der Lage der bei der Interpolation benutzten Funktionswerte zeigt, daß\ die Fehler umso kleiner sind, je dichter sich benutzten Werte um den zu interpolierenden zusammendrängen, wird empfohlen, statt der Angabe von Differenzen, wie sie z. B. \textit{Pearson} für vielstellige Tafeln empfiehlt, lieber zu jedem Funktionswert auch die Werte einiger Ableitungen zu geben.