Sur la détermination rigoureuse des ondes permanentes périodiques d'ampleur finie. (Q5924504)

Die Arbeit behandelt die permanenten periodischen Wellen in einer nicht wirbelfreien idealen Flüssigkeit in einem Kanal von unendlicher oder endlicher Tiefe. Sie weist die Existenz unendlich vieler solcher Wellen nach, unter denen vor allem eine Verallgemeinerung der \textit{Gerstner}wellen enthalten ist. Ist \(c\) die Geschwindigkeit, mit der sich das Oberflächenprofil fortbewegt, so wird vorausgesetzt, daß die Absolutgeschwindigkeiten der Teilchen sowie die Wirbelstärken klein gegenüber \(c\) seien und die Wellenhöhe gering sei. Ist \(\Psi (X,Y)\) die Strömungsfunktion in einem Längsschnitt des Kanals, und umgekehrt \(Y = A\cdot \Psi + \nu (X,\Psi )\), wo \(A\) eine nahe bei \(c^{-1}\) liegende endliche Größe ist, so empfiehlt sich die Einführung von \(\nu \) und der Variablen \[ \varrho =e^{-\tfrac {2\pi A}{\lambda }\cdot \Psi },\quad \alpha =\frac {2\pi }{\lambda }X\quad (\lambda = {\text{Periode}}). \] Dann handelt es sich um die Lösung der Gleichung \[ \Delta \nu = \mu \cdot h(\varrho ) + F\Bigl (\mu h, \nu, \frac {\partial \nu }{\partial \alpha },\frac {\partial \nu }{\partial \varrho },\cdots, \varrho, \alpha \Bigr ) \] innerhalb des Einheitskreises \(\varrho \leq 1\) bei der Randbedingung \[ \frac {\partial \nu ^*}{\partial n} + p\nu ^* -\frac 1{2\pi }\int \limits _0^{2\pi }\frac {\partial \nu ^*}{\partial n}d\sigma = \Phi \Bigl (\nu ^*,\frac {\partial \nu ^*}{\partial \sigma },\cdots \Bigr ), \] worin \(\mu \) einen kleinen Parameter, \(F\), \(\Phi \) Funktionen von zweiter Ordnung bezeichnen. Bezeichnet \(\Theta \) die Lösung der Gleichung \(\Delta \Theta =\mu h(\varrho )\) mit \(\Theta ^* = 0\), und nimmt man \(\nu = \Theta + \omega + V\) mit \(\Delta \omega = F\), so läßt sich die Aufgabe auf ein System zweier Integrodifferentialgleichungen in \(\omega \) und \(\dfrac {\partial V^*}{\partial n} = U^*\) zürückführen. Die erste Näherung lautet dann \[ U_1^* = \frac 1{\pi }(r_1\cos \sigma + r_2\sin \sigma ),\quad \omega _1=0, \] und man setzt voraus, daß \(r_1\), \(r_2\) klein ist, sodaß \(\mu =\dfrac 1{\pi }\sqrt {r_1^2+r_2^2}\) gewählt werden kann. Unter der Annahme einer \textit{Hölder}bedingung für die benutzten Größen läßt sich daraus ein sukzessives Approximationsverfahren für \(\omega _n\), \(U_n^*\) gewinnen, das absolut und gleichmäßig gegen eine eindeutig bestimmte Lösung konvergiert. Die Konstanten \(r_1\), \(r_2\) bestimmen sich aus den Verzweigungsgleichungen \[ r_1=\int \limits _0^{2\pi } U^*(\sigma )\cos \sigma d\sigma,\quad r_2=\int \limits _0^{2\pi } U^*(\sigma )\sin \sigma d\sigma, \] die wegen der Symmetrie der gefundenen Wellen sich zu einer zusammenziehen lassen. Es folgt, daß es unednlich viele Wellen der gesuchten Art gibt, für deren erste \(c^2=\frac {\lambda g}{2\pi }+(\cdot )\) \(\mu \) ist, sodaß die \textit{Airy}sche Formel bis auf ein Zusatzglied von der Ordnung der Wellenhöhe gilt; letzteres verschwindet für die \textit{Gerstner}wellen, aber noch für unendlichviele andere Wellentypen. Das Wellenproblem bei einem Kanal endlicher Tiefe \(H\) unterscheidet sich von dem obigen durch Hinzutreten einer weiteren Randbedingung \(\nu ^{**}=0\) auf einem Kreise \(\varrho =\varrho _0\). Man erhält jetzt ein System von drei Integrodifferentialgleichungen für \(\omega \), \(U^*\) und \(U^{**}\). Man findet unendlich viele Wellen; die erste liefert \[ 2\pi \cdot c^2=\lambda g\cdot \operatorname {tgh}\frac {2\pi H}{\lambda } + (\cdot )\mu. \] Es gibt einen einzigen Bewegungstyp, der wie die \textit{Gerstner}wellen lediglich auf scheinbarer Bewegung beruht; die zugehörige Funktion \(h\) ist Lösung der nichtlinearen Integralgleichung \[ 2\pi \mu h=\int \limits _0^{2\pi }Fd\sigma. \]