Ein dimensionstheoretischer Isotopiesatz. (Q5924547)

Die Untersuchung geht zurück auf eine gelegentlich von \textit{G. Berg\-mann} gestellte Frage, ob im euklidischen Raum \(E\) von einer Dimension \(\geq 2n + 2\) eine kompakte \(n\)-dimensionale Menge in jede ihr homöomorphe Menge stetig und ``ohne Selbstdurchdringung'' übergeführt werden kann. Die bejahende Antwort wird durch den Beweis des Satzes gegeben: Seien \(f_0(R)\) und \(f_1(R)\) zwei eindeutige stetige Abbildungen eines kompakten \(n\)-dimensionalen Raumes \(R\) auf Teilmengen von \(E\); dann kann man für jedes \(t\) aus \(0 < t < 1\) eine topologische Abbildung \(f_t(R)\) von \(R\) auf eine Teilmenge von \(E\) angeben, so daß\ für Punkte \(p, p_1, p_2,\dots \) aus \(R\) und Zahlen \(t, t_1, t_2,\dots \) aus \(0 \leq t \leq 1\) zugleich mit \(\lim t_n = t\) und \(\lim p_n = p\) stets \[ \lim f_{t_n} (p_n) = f_t(p) \] gilt (``\(f_0(R)\) und \(f_1(R)\) sind isotop in \(E\)''). Die Antwort auf die eingangs gestellte Frage ergibt sich, wenn \(f_0(R)\) und \(f_1(R)\) selbst als topologische Abbildungen an\-ge\-nom\-men werden.