Sopra un tema di concorso. (Q5924569)

Elementare analytische Auflösung des folgenden Problems, das in Italien in einem offiziellen Wettbewerb vorgelegt worden war: Ist in der Ebene ein System orthogonaler Cartesischer Koordinaten gegeben, so betrachte man die \(\infty ^1\) Kurven \(C\) mit der folgenden allgemeinen Gleichung: \[ x^2+(\alpha ^2+1)^2ky-(2\alpha ^2+1)k^2=0, \] wo der Bequemlichkeit wegen der veränderliche Parameter durch \(\alpha ^2\) bezeichnet ist (er variiere zwischen 0 und \(+\infty \)); \(k\) ist eine positive Konstante. Verlangt wird: 1) Die Natur der Kurven \(C\) zu bestimmen. 2) Zu beweisen, daß ihre Enveloppe die Kurve \(\Gamma \) mit der folgenden Gleichung ist: \[ y=\frac {k^3}{x^2+k^2}. \] 3) Die Eigenschaften der Kurve \(\Gamma \) zu bestimmen. 4) Die Schnittpunkte von \(\Gamma \) mit einer beliebigen Kurve \(C\) zu studieren; man beweise insbesondere, daß die durch den Parameter \(\alpha ^2\) bestimmte Kurve \(C\) durch \(\Gamma \) in zwei Punkten \(A\), \(B\) berührt wird, deren Abszisse gleich \(\pm k\alpha \) ist. 5) Den Inhalt \(S\) des Gebietes zu bestimmen, welches von den durch die Punkte \(A\), \(B\) begrenzten Bogen der Kurve \(C\) und \(\Gamma \) umschlossen wird; es ergibt sich: \[ S=\frac {2k^2}{3(\alpha ^2+1)^2}\{3(\alpha ^2+1)^2\operatorname {arc\,tg} \alpha -5\alpha ^3-3\alpha \}. \] Da \(\lim \limits _{\alpha ^2\to 0} S = 0\) ist, so wird ferner nach dem Grenzwert \(\lim \limits _{\alpha ^2\to 0} \dfrac {S}{\alpha ^2}\) gefragt. Die Arbeit schließt mit einigen allgemeinen synthetischen Betrachtungen, die ebenfalls zu fast allen diesen Resultaten führen können.