Invariants relating to a ruled surface. (Q5924572)

Es seien \(p_{ij}\) (\(i,j=1,\ldots,4\)) die \textit{Plücker}schen Koordinaten einer Geraden im projektiven \(R_3\). Zwischen ihnen gilt bekanntlich: \(p_{12}p_{34} + p_{13}p_{42}+p_{14}p_{23}=0\). Werden diese \(p_{ik}\) als Koordinaten eines Punktes im projektiven \(R_5\) gedeutet, so stellt diese Gleichung eine reguläre vierdimensionale Quadrik \(Q_4\) dar. Die Gerade im \(R_3\) kann also auf einen Punkt von \(Q_4\) abgebildet werden und daher eine Regelfläche im \(R_3\) auf eine Kurve \(C\) auf der \(Q_4\). Es werden in dieser Arbeit die fundamentalen Invarianten von \(C\) und ihre geometrischen Deutungen und Bedeutungen abgeleitet. - 1) Zuerst wird die Bedingung für den Schnitt zweier Geraden \(p\) und \(p'\) und zweier Ebenen \(L_2\) und \(L_2'\) hergeleitet und in Beziehung zu \(Q_4\) gesetzt. - 2) Eine lineare Kongruenz wird dann als die Gesamtheit derjenigen Geraden erklärt, deren Bilder Punkte auf dem Schnittgebilde von \(Q_4\) mit einem dreidimensionalen Raum \(L_3\) sind. Dieses Schnittgebilde ist eine zweidimensionale Quadrik \(Q_2\). Die Haupteigenschaften der Kongruenz werden gewonnen. - 3) Ein linearer Komplex wird als die Gesamtheit derjenigen Geraden definiert, deren Bilder Punkte auf dem Schnittgebilde von \(Q_4\) mit einer Hyperebene \(L_4\) sind. Dieses Schnittgebilde ist eine dreidimensionale Quadrik \(Q_3\). Die Haupteigenschaften des Komplexes werden abgeleitet. - 4) Es wird die Gleichung der \(Q_4\) in \textit{Klein}schen Koordinaten gewonnen und dann die Kurve \(C\) auf \(Q_4\) eingeführt und zunächst der Fall betrachtet, daß \(C\) eine ebene Kurve ist. Sie ist dann im allgemeinen ein regulärer Kegelschnitt und bildet eine reguläre Quadrik im \(R_3\) ab. - 5) Ist \(C\) keine ebene Kurve, liegt dagegen in einem dreidimensionalen Raum, so folgt, daß \(C\) eine Fläche \(R\) abbildet, deren Erzeugende im allgemeinen einer linearen Kongruenz angehören. Ihre Eigenschaften werden in den einzelnen möglichen Fällen analytisch erhalten. Die Invarianten werden abgeleitet. - 6) Es folgt die Behandlung des Falles, wo \(C\) nicht in einem dreidimensionalen Raum, sondern in einer Hyperebene \(L_4\) liegt. In diesem Falle gehören die Erzeugenden von \(R\) im allgemeinen einem linearen Komplex an. Auch hier werden die Invarianten entwickelt und anschaulich gedeutet. - 7) Die analoge Behandlung, wo \(C\) auch in keiner Hyperebene liegt, und die Ableitung der bezüglichen Invariante schließt sich an.