Zum Beweis des Hauptidealsatzes. (Q5924614)

Nachdem vor kurzem \textit{Magnus} (1934; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 86) eine Beweisvereinfachung für den \textit{Furtwänglers}chen Hauptidealsatz geliefert hat, folgt hier nun eine weitere Vereinfachung, die den Beweis vor allem auch durchsichtiger gestaltet. Zu beweisen ist nach \textit{Artin} (1929; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 699) wie in der ursprünglichen \textit{Furtwänglers}chen Fassung (1929; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 699) ein Satz über zweistufige Gruppen, daß bei Verlagerung einer Gruppe in ihre Kommutatorgruppe \(\mathfrak {G}'\) alle ihre Elemente in die Eins mod \(\mathfrak {G}''\) übergehen. Dabei wird hier die Verlagerung einer Gruppe \(\mathfrak {G}\) in eine ihrer Untergruppen \(\mathfrak {U}\) auf eine etwas andere als in der oben genannten \textit{Artins}chen Abhandlung gewonnen, die den Verlagerungshomomorphismus deutlicher hervortreten läßt; in dieser Form findet sie sich bereits 1902 bei \textit{I. Schur} (F. d. M. 33, 146 (JFM 33.0146.*)): Es gehe bei Verlagerung \(\mathfrak {G} \rightarrow \mathfrak {U}\) das Element \(S\) aus \(\mathfrak {G}\) in \[ V(S) \equiv \underset {G \mod \mathfrak {U}} {\Pi \overline {G}S} \overline {GS}^{-1} \mod \mathfrak {U}' \] über, wenn \(\mathfrak {G} = \sum \mathfrak {U} \overline {G}\) und \(\overline {G}\) allgemein den Vertreter von \(G\) mod \(\mathfrak {U}\) bedeutet. Wesentlich für den Beweis ist der Satz von \textit{Artin} über die Existenz einer Zerfällungsgruppe \(\overline {\mathfrak {G}} \text{ von } \mathfrak {G} = \sum _{\nu =1}^n S_\nu \mathfrak {U}\): Ist \(\mathfrak {U}\) abelscher Normalteiler von \(\mathfrak {G}\), so läßt sich eine Obergruppe \(\overline {\mathfrak {G}} \doteq \sum _{\nu =1}^n S_\nu \overline {\mathfrak {U}}\) von \(\mathfrak {G}\) finden, die \(\overline {\mathfrak {U}}\) wiederum als abelschen Normalteiler enthält mit demselben Restsystem \(S_\nu \mod \overline {\mathfrak {U}}\), das sich aber jetzt durch eine Untergruppe \(\sum \overline {S_\nu }\) von \(\overline {\mathfrak {G}}\) ersetzen läßt. Diese Erweiterung bewirkt, daß man statt \[ V_{\mathfrak {G}\rightarrow \mathfrak {U}} (S) = 1 \text{ nur } V_{\overline {\mathfrak {G}} \rightarrow \overline {\mathfrak {U}}} (\overline U) = \overline {\mathfrak {U}}^{\Sigma S_{\nu }} = 1 \] für \(\overline U < \overline {\mathfrak {U}}\) zu beweisen hat. Der Beweis gelingt nun durch Einführung des ``Ordnungsideals'' \(\mathfrak {D}\) einer abelschen Gruppe mit symbolischer Potenzierung, das der gewöhnlichen Gruppenordnung entspricht wie die symbolische Ordnung eines Elementes seiner natürlichen Ordnung; ist \(A_1,\cdots,A_\nu \) ein symbolisches Erzeugendensystem für die abelsche Gruppe, \(R_\varrho = \Pi _\sigma A_\varrho ^{\gamma \varrho \sigma } = 1\) ein beliebiges System von \(r\) Relationen zwischen den \(A_\sigma \) mit symbolischen Exponenten \(\gamma \), so sei \(\mathfrak {D}\) der größte gemeinsame Teiler aller Determinant en \(|\gamma _{\varrho \sigma }|\). Nun folgt \(\mathfrak {D}(\overline {\mathfrak {U}}) | \sum S_\nu \) aus Ord \(\overline {\mathfrak {U}}/\overline {\mathfrak {U}}^{S-1} | U\) durch Identifizierung aller \((S-1)\)-ten Gruppenelement-Potenzen.