Sur la sphère vide. (Q5924642)

Verf. leitet ein Fundamentaltheorem von \textit{Voronoï} fast unmittelbar aus folgendem allgemeinen Lemma ab: Der \(R_n\) sei durch Tetraeder \(T\) lückenlos und einfach so überdeckt, daß je zwei Tetraeder \(T\), die sich \((n-1)\)-dimensional berühren, auch stets eine ganze \((n-1)\)-dimensionale Seite gemein haben (benachbate Tetraeder) und jedes beliebige Gebiet endlichen Durchmessers nur Punkte endlich vieler Tetraeder \(T\) enthält. Dann ist notwendig und hinreichend dafür, daß jede einem Tetraeder \(T\) umbeschriebene Kugel ``leer'' ist, d. h. keinen Eckpunkt irgendeines Tetraeders \(T\) im Innern enthält, daß fürt je zwei benachbarte Tetraeder \(T\) die dem einen umbeschriebene Kugel keinen Eckpunkt des andern im Innern enthält und umgekehrt.'' Daraus folgt, daß jedem \(n\)-dimensionalen Gitter eine Aufteilung des \(R_n\) in Tetraeder\(L\) entspringt, deren umbeschriebene Kugeln leer sind, und es ergibt sich eine Korrelation dieser Tetraeder \(L\) zu den Gitterzellen \(D\) (Gitterzelle = Gesamtheit der Punkte des \(R_n\), die von einem festen Gitterpunkt nicht größere Entfernung haben als von jedem andern). Die Anzahl der topologischen Typen der Gitterzellen und damit der \(n\)-dimensionalen Gitter ist endlich. Es ergibt sich dann leicht der Satz von \textit{Voronoï}: ``Dafür daß ein System von \(n\) Grundvektoren eines \(n\)-dimensionalen Gitters eindeutig mit der Gitterzelle verbunden ist, ist notwendig und hinreichend, daß die Koeffizienten der zum Gitter gehörigen quadratischen Form einer endlichen Anzahl von Ungleichungen genügen, die durch den topologischen Typus des Gitters und die Art, wie die Grundvektoren mit der Gitterzelle zusammenhängen, gegeben werden.