Zur Theorie der konformen Abbildung. (Q5924673)

Verf. betrachtet eine Reihe von Variationsproblemen in der Theorie der konformen Abbildung einfach zusammenhängender Bereiche. Die Hauptmethode der Arbeit ist die Betrachtung der Variation der Funktion, die die Abbildung der Bereichs auf den Kreis \(|w|<1\) vermittelt, wenn man die Begrenzung des Bereichs abändert. Die Prinzipien von \textit{Lindelöf} und \textit{Montel} geben die Grundlage ab für die vorereitenden Hilfssätze über diese Variationen. Verf. faßt dann das folgende Problem ins Auge, das den bekannten \textit{Koebe-Bieberbach}schen Satz verallgemeinert: \(\{D \}\) sei die Familie der einfach zusammenhängenden Bereiche in der \(z\)-Ebene, die den Nullpunkt enthalten und die gewisse gegebene Punkte \(z=a_1, z=a_2, \dots z=a_n\) nicht enthalten; weiter sei \(w = f(z,D)\) mit \(f(0,D)=0\) die Funktion, die die Abbildung von \(D\) auf \(|w|<1\) vermittelt; es ist das Gebiet \(D_0\) der Familie zu ermitteln, für das \(|f' (0,D)|\) ein Minimum ist. Im allgemeinen Fall gibt Verf. eine geometrische Charakterisierung für \(D_0\) und betrachtet die analytische Natur der Funktion \(f(z,D_0)\). Dann gibt er einige genaue Auswertungen für die Funktionen, die die Abbildung spezieller Gebiete auf \(|w|<1\) vermitteln; unter Benutzung dieser Ergebnisse definiert er eine Klasse von Randpunktmengen, die jedesmal in eine Menge vom Maße Null auf \(|w| =1\) übergehen. Im zweiten Teil der Arbeit beweist Verf. den Satz: \(E\) sei ein beschränktes Kontinuum, das nirgends dicht ist, und das die Ebene nicht zerlegt; \(f(z)\) sei eine auf \(E\) definierte und dort überall stetige Funktion. Dann kann man \(f(z)\) auf \(E\) als Summe einer gleichmäßig konvergenten Reihe von Polynomen darstellen. (IV 4.)