Sur l'unicité et la limitation des intégrales des équations aux dérivées partielles du premier ordre. (Q5924708)

Verf. zeigt, daß\ Eindeutigkeits- und Abschätzungssätze für die Integrale der Gleichung \[ p=f(x,y_1,\dots,y_n,z,q_1,\dots,q_n), \tag{1} \] die \textit{T. Ważewski} aufgestellt hat (1933; F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 1115), auch unter Voraussetzungen gültig bleiben, die von der Funktion \(f\) weniger verlangen als die von \textit{Ważewski} angegeben. Die Funktion \(f\) sei definiert im \((2n+1)\)-dimensionalen Bereich \[ T:\begin{cases} 0\leqq x<a, \quad c_{\nu }+L_{\nu }x\leqq y_{\nu }\leqq d_{\nu }-L_{\nu }x \qquad (\nu =1,\dots,n),\\ -\infty <z<\infty, \quad -\infty <q_{\nu }<\infty \qquad (\nu =1,\dots,n), \end{cases} \] wobei \(L_{\nu }\geqq 0, \quad c_{\nu }<d_{\nu }, \quad 2L_{\nu }a\leqq d_{\nu }-c_{\nu }\). Die der \textit{Lipschitz}bedingung ähnlichen Zusatzvoraussetzungen braucht nun \(f\) nicht in \(T\), sondern nur für eine \((n+2)\)-dimensionale Teilmenge \(U\) von \(T\) zu erfüllen. Die Definition dieser Teilmenge \(U\) ist für beliebige \(n\) zu verwickelt, als daß\ sie hier wiedergegeben werden könnte; im Fall \(n=1\) ist \(U\) die Summe der Mengen \[ \begin{matrix} (E_1) & 0\leqq x<a, & c+Lx<y<d-Lx, & -\infty <z<\infty, & q=0,\\ (E_2) & 0\leqq x<a, & y=c+Lx, & -\infty <z<\infty, & -\infty <q<\infty,\\ (E_3) & 0\leqq x<a, & y=d-Lx, & -\infty <z<\infty, & -\infty <q<\infty. \end{matrix} \] Die Ergebnisse sind: Theorem I: Die Funktion \(\sigma (x,\zeta )\) sei in dem (nach links offenen) Halbstreifen \(0<x<a, \quad \zeta \geqq 0\) stetig, und es sei \(\zeta (x)\equiv 0\) das einzige Integral der Gleichung \[ z'=\sigma (x,| z| ), \tag{2} \] das im Intervall \(0\leqq x<a\) existiert und die Anfangsbedingungen \(\zeta (0)=\zeta '(0)=0\) erfüllt. Die Funktion \(f\) befriedige für alle Punkte \((x,y_1,\dots,y_n,z,q_1,\dots,q_n)\) und \((x,y_1,\dots,y_n,\bar z,\bar q_1,\dots,\bar q_n)\) aus \(T\), für welche der Punkt \[ (x,y_1,\dots,y_n,\bar z-z,\bar q_1-q_1,\dots,\bar q_n-q_n) \] zu \(U\) gehört, die Ungleichung \[ \begin{gathered} | f(x,y_1,\dots,y_n,\bar z,\bar q_1,\dots,\bar q_n)- f(x,y_1,\dots,y_n,z,q_1,\dots,q_n)| \\ \leqq \sum \limits _{\nu =1}^{n}L_{\nu }| \bar q_{\nu }-q_{\nu }| +\sigma (x,| \bar z-z| ). \tag{3} \end{gathered} \] Dann sind je zwei Integrale \(\psi _i(x, y_1,\dots,y_n)\) \((i=1,2)\) der Gleichung (1), die in \(T\) stetige partielle Ableitungen erster Ordnung haben und im Bereich \[ x=0, \quad c_{\nu }\leqq y_{\nu }\leqq d_{\nu }, \qquad (\nu =1,\dots,n) \tag{4} \] überall einander gleich sind, im ganzen Bereich \(T\) miteinander identisch. Theorem II. \(\sigma (x,\zeta )\) sei in dem (nach links abgeschlossenen) Halbstreifen \(0\leqq x<a, \quad \zeta \geqq 0\) stetig. Es sei \(\omega (x)\) das Maximalintegral der Gleichung (2), das im Intervall \(\langle 0, a)\) existieren und den Ausgangswert \(\omega (0)=k>0\) haben soll. Für alle Punkte von \(U\) sei \[ | f(x,y_1,\dots,y_n,z,q_1,\dots,q_n)| \leqq \sum \limits _{\nu =1}^{n}L_{\nu }| q_{\nu }| +\sigma (x,| z| ). \] Erfüllt das Integral \(\psi (x,y_1,\dots,y_n)\) im Bereich (4) die Ungleichung \[ | \psi (0,y_1,\dots,y_n)| \leqq k, \] so ist \(\psi (x,y_1,\dots,y_n)| \leqq \omega (x)\) in \(T\). Theorem III. Erfüllt \(f\) die Voraussetzung (3) und \(\sigma (x,\zeta )\) dieselben Voraussetzungen wie in Theorem II, so ist in \(T\) \[ | \psi _1(x,y_1,\dots,y_n)-\psi _2(x,y_1,\dots,y_n)| \leqq \omega (x), \] falls im Bereich (4) \[ | \psi _1(0,y_1,\dots,y_n)-\psi _2(0,y_1,\dots,y_n)| \leqq k \] ist. Zum Schluß\ weist Verf. darauf hin, daß\ man in der Definition von \(T\) die Ungleichungen \[ c_{\nu }+L_{\nu }x\leqq y_{\nu }\leqq d_{\nu }-L_{\nu }x \] durch Ungleichungen der Form \[ g_{\nu }(x)\leqq y_{\nu }\leqq h_{\nu }(x) \] ersetzen kann, wofern im Intervall \(0\leqq x<a\) \[ g_{\nu }(x)<h_{\nu }(x), \quad g_{\nu }'(x)\geqq 0, \quad h_{\nu }'(x)\leqq 0 \] ist.