On the minors of absolutely convergent determinants. (Q5924758)

Als Fortsetzung seiner Arbeit ``A note on a system of equations with infinitely many unknowns'' (Bulletin A. M. S. 36 (1930), 563-572; F. d. M. \(56_{\text{II}}\)) beweist Vef. folgenden Satz: Die Elemente der unendlichen Determinante \[ A=| a_{ik}+\delta _{ik}| \] mögen den Bedingungen unterworfen sein: \[ \sum \limits _{i=1}^{\infty }a_{ii} \quad \text{und} \quad \left \{ \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left [ \sum \limits _{k=1}^{\infty } | a_{ik}| ^q\right ] ^{\tfrac {p}{q}}\right \} ^{\tfrac {1}{p}} =\sigma \quad (i\neq k) \] konvergieren für \(\dfrac {1}{p}+\dfrac {1}{q}=1, \quad 1<p\leqq 2\). Unter \(A_{r_1\dots r_s;c_1\dots c_s}\) wird diejenige Unterdeterminante von \(A\) verstanden, die durch Streichen der Zeilen \(r_i\) und Spalten \(c_j\) \((r_i\neq c_j;i,j=1,\dots,s)\) entsteht. Dann konvergieren die Reihen \[ \begin{gathered} \sum \limits _{c_1\dots c_s=1}^{\infty }\left [ \sum \limits _{r_1 \dots r_s=1}^{\infty }| A_{r_1\dots r_s;c_1\dots c_s} | ^q\right ] ^{\tfrac {p}{q}},\\ \sum \limits _{r_1\dots r_s=1}^{\infty }\left [ \sum \limits _{c_1 \dots c_s=1}^{\infty }| A_{r_1\dots r_s;c_1\dots c_s} | ^p\right ] ^{\tfrac {q}{p}} \quad (r_i\neq c_j). \end{gathered} \] Für \(\sigma <1\) kann der Wert der Summen genauer angegeben werden. Zum Beweis wird die Determinante durch Vertauschung in geeignete Form gebracht, und es werden in der erwähnten Arbeit gegebene Abschätzungsungleichungen angewendet.