On linear functional operations and the moment problem for a finite interval in one or several dimensions. (Q5924763)

\textit{Hildebrandt} hat in der Arbeit ``On the moment problem for a finite interval'' (Bulletin A. M. S. 38 (1932), 269-270; F. d. M. 58) den \textit{Hausdorff}schen Satz über Momente aus dem \textit{Riesz}schen Satz über die Darstellung eines linearen Funktionals durch ein \textit{Stieltjes}-Integral abgeleitet. In der gegenwärtigen Arbeit machen die Verf. zunächst das Umgekehrte und erbringen dann noch unter Benutzung der \textit{S. Bernstein}schen Approximationspolynome und des \textit{Helly}schen Satzes über die Kompaktheit einer Menge von Funktionen mit gleichmäßig beschränkter Variation einer direkten Beweis des \textit{Riesz}schen Satzes. Sodann werden nach einigen vorbereitenden Betrachtungen über \textit{Stieltjes}- Integrale und Momente von Funktionen zweier Variablen mit denselben Methoden die Sätze von \textit{Hausdorff} und \textit{Riesz} für Funktionen zweier Variablen bewiesen: Satz von \textit{Hausdorff}: Es sei eine reelle Doppelfolge \(\mu _{mn} (m,n=0,1,2,\dots )\) gegeben. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß\ es eine monotone Funktion \(\chi (x,y)\) mit den Momenten \(\mu _{mn}\) im Intervall \((0,1)\) gibt, d. h. daß\^^M \[ \mu _{mn}=\int \limits _0^1\int \limits _0^1x^my^nd_xd_y\chi (x,y) \] ist, besteht darin, daß\ die Doppelfolge vollmonoton ist, d. h: \[ \varDelta _m^k\varDelta _n^h\mu _{mn}\geqq 0 \qquad (m,n,k,h=0,1,2,\dots ). \] Dabei heißt \(\chi \) monoton, wenn \[ \varDelta (\chi ; \xi,\eta,x,y)=\chi (\xi,\eta )-\chi (\xi,y) -\chi (x,\eta )+\chi (x,y)\geqq 0 \] für \(0\leqq x<\xi \leqq 1, 0\leqq y<\eta \leqq 1\) und \[ \chi (x,0)=\chi (0,y)=0 \] für \(0\leqq x\leqq 1, 0\leqq y\leqq 1\) ist. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß\ es eine Funktion \(\chi (x,y)\) von beschränkter Variation mit den Momenten \(\mu _{mn}\) gibt, besteht darin, daß\ die Folge \[ \sum \limits _{m,n=0}^{p}\binom {p}{m}\binom {p}{n}| \varDelta _{m}^{p-m}\varDelta _{n}^{p-n}\mu _{mn}| \] beschränkt ist. Dabei heißt \(\chi (x,y)\) von beschränkter Variation, wenn \[ \sum \limits _{i=0}^{p-1}\sum \limits _{j=0}^{q-1} | \varDelta (\chi ;x_{i+1},y_{i+1},x_i,y_i)| \] für jede Einteilung \(0=x_0<x_1\dots <x_p=1, 0=y_0<y_1\dots <y_q=1\) beschränkt bleibt. Satz von \textit{F. Riesz}: Jedes stetige, lineare Funktional \(L[f]\), das für Funktionen \(f(x,y)\) definiert ist, die in \(0\leqq x\leqq 1, 0\leqq y\leqq 1\) stetig sind, kann als \textit{Stieltjes}-Integral \[ L[f]=\int \limits _0^1\int \limits _0^1f(x,y)d_xd_y\chi (x,y) \] mit einem \(\chi \) von beschränkter Variation dargestellt werden.