Contribution à la théorie de la dimension. (Q5924822)

Verf. definiert die Dimension folgendermaßen: Es sei \(R\) ein topologischer Raum; die Aussage ``die Dimension von \(R\) ist höchstens gleich \(n\)'' (in Zeichen: \(\dim R \leq n\)) bedeutet: Zu jedem endlichen System offener Mengen \(U_1, U_2,\dots, U_p\) mit \(\sum \limits _{i=1}^p U_i = R\) gibt es ein endliches System offener Mengen \(V_1, V_2,\dots, V_q\) mit folgenden Eigenschaften: (1) \ \(\sum \limits _{k=1}^q V_k = R;\) (2) \ Jedes \(V_k\) ist Teilmenge eines \(U_i\); (3) \ Der Durchschnitt von je \(n+2\) Mengen \(V_k\) ist leer (\(n = -1, 0, 1,\dots \)). Auf Grund dieser Definition (die für separable metrische Räume nach dem Zerlegungssatz mit der üblichen Definition äquivalent ist) gilt der Summensatz in folgender allgemeiner Form: \(R\) sei normaler Raum (d. h. zu jedem Paar ab\-ge\-schlos\-se\-ner Mengen \(A, B\) mit \(AB = 0\) gibt es zwei offene Mengen \(U > A, V > B\) mit \(UV = 0\)); ist für jedes \(i \;(i = 1, 2,\dots )\) die Menge \(A_i\) ein \(F_{\sigma }\) mit \(\dim A_i \leq n\), so ist auch \[ \dim \sum ^{\infty }_{i=1} A_i \leq n. \] Weiter: Es sei \(R\) ein normaler Raum, in welchem jede offene Menge ein \(F_{\sigma }\) ist; wenn \(\dim R \leq n\) und \(S < R\) ist, so ist auch \(\dim S \leq n.\)