Über den Fundamentalsatz der Algebra. (Q5924869)

Bei dem ersten \textit{Gauß}schen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra wird das Polynom \[ P(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_o \] durch Einführung von \(z=x+yi\) in die Summe \(U(x,y)+iV(x,y)\) zerlegt, und es werden die reellen algebraischen Kurven \(U(x,y)=0\) und \(V(x,y)=0\) in bezug auf ihren Verlauf außerhalb eines Kreises mit dem Radius \(R\) um den Nullpunkt untersucht; es existiert ein solcher Kreis, daß für alle \(r>R\) die Kurven \(U=0, V=0\) die Kreislinie \(|z|=r\) in je \(2n\) einander trennenden Punkten durchsetzen, woraus das Vorhandensein der Schnittpunkte der zwei Kurven folgt. Die Verf. zeigen unter Abänderung des \textit{Gauß}schen Gedankenganges mit recht elementaren algebraischen und analytischen Hilfsmitteln, daß es einen Kreis gibt, dessen Radius die untere Grenze aller ist, und der eine Nullstelle von \(P(z)\) trägt. Durch den vorliegenden Aufsatz wird der Fundamentalsatz der Algebra auf Grund des geometrischen \textit{Gauß}schen Prinzips streng und einfach, aber doch unter Umgehung aller bisherigen Schwierigkeiten (vgl. das vorangehende Referat) bewiesen.