Families of groups generated by two operators of the same order. (Q5924876)

Die Gruppen mit zwei Erzeugenden \(S_1\) und \(S_2\) und den definierenden Relationen \[ S_1^n = S_2^n = \left (S_1S_2^{-1}\right )^m = \left (S_1S_2^{p-1}\right )^q = 1, \] \(S_1S_2^{-1}\) vertauschbar mit seinen Transformierten, \((n = p \cdot q\) und \(m\) beliebig) erzeugen eine endliche Gruppe der Ordnung \(n \cdot m^{n-p}\), die sich als Permutationsgruppe vom Grade \(m \cdot n\) darstellen läßt. \(S_1S_2^{-1}\) und seine Transformierten erzeugen eine invariante abelsche Untergruppe der Ordnung \(m^{n-p}\) mit zyklischer Faktorgruppe. Das Zentrum hat die Ordnung \(4\) oder \((m,q)\), je nachdem \(m = q = 2\) ist oder nicht. Der Index der Kommutatorgruppe ist \(n \cdot (m,q)\). - Die genannten Gruppen sind in den Fällen \(n\) beliebig, \(p=1\), sowie \(n=4,\;p=2\), bereits von \textit{W. E. Edington} (1923, 1924; F. d. M. 49, 85 (JFM 49.0085.*); 50, 78) aufgestellt worden.