Zur Theorie der einfach transitiven Permutationsgruppen. (Q5924877)

Es sei \(\mathfrak {G}\) eine transitive Permutationsgruppe des Grades \(n,\;\mathfrak {H}\) eine reguläre Untergruppe der Ordnung \(n\). Ist \(n\) eine Primzahl, so ist \(\mathfrak {G}\) zweifach transitiv oder auflösbar (\textit{W. Burnside} [Proc. Lond. Math. Soc. 33, 162--185 (1901; JFM 32.0139.01); 33, 257--268 (1901; JFM 32.0139.02)], Verf. [Deutsche Math.-Ver. 17, 171--176 (1908; JFM 39.0197.01)]). Ist dagegen \(n\) keine Primzahl und \(\mathfrak {H}\) zyklisch, so gilt der Satz, daß \(\mathfrak {G}\) zweifach transitiv oder imprimitiv sein muß. Für den Fall, daß \(n\) eine Primzahlpotenz ist, ist dieser Satz bereits von \textit{W. Burnside} [Theory of groups of finite order. 2nd ed. Cambridge: University Press (1911; JFM 42.0151.02)] unter Benutzung von Gruppencharakteren bewiesen worden; an gleicher Stelle hatte Burnside die Vermutung ausgesprochen, daß der Satz stets gilt, wenn \(\mathfrak{H}\) abelsch sei. Verf. beweist nun den oben genannten Satz allgemein und ganz im Rationalen (ohne Gruppencharaktere) und widerlegt die Vermutung. Ferner beweist er, daß unter den Voraussetzungen des Satzes \(\mathfrak{G}\) zweifach transitiv ist oder eine invariante Untergruppe enthält, deren Durchschnitt mit \(\mathfrak{H}\) nicht nur das Einheitselement ist; auch diese Tatsache ist für den Fall, daß \(n\) eine Primzahlpotenz ist, bereits von Burnside bewiesen worden. Bei dem (übrigens gar nicht einfachen) Beweise spielen gewisse Komplexe aus Elementen von \(\mathfrak{H}\) eine Rolle. Faßt man die Elemente von \(\mathfrak {H}\) als Vertauschungssymbole auf, und ist dann \(H \rightarrow \overline H\) eine beliebige Permutation aus \(\mathfrak{G}\), so heißt ein Komplex \(\mathfrak{K}\) in \(\mathfrak{H}\) ein \textit{Hauptkomplex}, wenn für beliebige \(K\) aus \(\mathfrak{K}\) und \(H\) aus \(\mathfrak{H}\) gilt, daß \((\overline {KH}) \overline H^{-1}\) wieder in \(\mathfrak{K}\) liegt. Ein minimaler Hauptkomplex (d. h. einer ohne echte Teilhauptkomplexe) heißt primär. Es wird eine Reihe von wichtigen Ergebnissen über Hauptkomplexe und primäre Komplexe abgeleitet, z. B: Zerfällt \(\mathfrak{H}\) in genau \(2\) primäre Komplexe, so ist \(\mathfrak{G}\) zweifach transitiv. Ferner: Ist \(\mathfrak{H}\) abelsch, \(\mathfrak{G}\) primitiv, \(\mathfrak{K}\) primär, \(p^\nu\) Teiler von \(n\) und \(R\) in \(\mathfrak{H}\) und vom Einheitselement verschieden, so ist die Anzahl der Elemente von \(\mathfrak{K}\), deren \(p^\nu\)-te Potenz gleich \(R\) ist, durch \(p\) teilbar.