Über additive Eigenschaften von Zahlen. (Q5924915)

In dieser Arbeit wird neben wichtigen andern Ergebnissen zum ersten Mal gezeigt, daß jede natürliche Zahl die Summe einer festen Anzahl von Primzahlen (einschließlich der Eins) ist. Definitionen: Sei \(F=\{f_1,f_2,\dots \}\) eine Folge natürlicher Zahlen mit \(f_1<f_2<f_3<\cdots \) und \(N_F(x)\) die Anzahl der \(f_k\) mit \(f_k\leq x\), \(N_F(x,y)\) die Anzahl derjenigen mit \(x\leq f_k\leq y\). Die Folge \(F\) heißt dicht mit der Dichte \(D(F)\geq \alpha >0\), bzw. fast dicht, bzw. stark dicht mit der starken Dichte \(SD(F)\geq \alpha >0\), je nachdem \(\dfrac {N_F(x)}{x}\geq \alpha \) für jedes \(x=1,2,3,\dots \) ist, oder nur \(\liminf \dfrac {N_F(x)}{x}\geq \alpha \), oder sogar zu irgend zwei positiven Zahlen \(\varrho \), \(\sigma \) ein \(x_0=x_0(\varrho, \sigma )\) existiert, so daß \[ \frac {N_F(x,y)}{y-x}\geq \alpha -\sigma \quad {\text{ ist für }} x\geq x_0,\quad y\geq x(1+\varrho ). \] Eine Teilfolge \(F'\) von \(F\) heißt dicht in \(F\) mit der relativen Dichte \(\alpha >0\), wenn für jedes \(x=1,2,\dots \) stets \[ \frac {N_{F'}(x)}{N_F(x)}\geq \alpha >0 \] ist. - Sind \(F_h\) \((h=1,\dots,n)\) endlichviele Folgen, und ist \(f_{i_h}^{(h)}\) \((h=1,2,\dots,n)\) gleich Null oder ein Element von \(F_h\), so wird die Folge der verschiedenen nach wachsender Größe angeordneten positiven Summen \[ f_{i_1}^{(1)}+f_{i_2}^{(2)}+\cdots +f_{i_n}^{(n)}\quad {\text{mit}}\quad F_1+F_2+\cdots +F_n \] bezeichnet, insbesondere mit \(nF\), wenn alle \(F_h=F\) einander gleich sind. Eine Folge \(F\) heißt Basis der natürlichen Zahlen, wenn es zwei natürliche Zahlen \(a\) und \(m\) gibt, so daß jede durch \(a\) teilbare natürliche Zahl \(x\) in \(mF\) liegt; enthält \(F\) die Zahl 1, so liegt dann jede natürliche Zahl in \((m+a-1)F\). Die Folge heißt starke Basis, wenn es obendrein eine positive Zahl \(\lambda \) gibt, so daß in der Darstellung der durch \(a\) teilbaren \(x\) als Summe von \(m\) Zahlen aus \(F\) jede einzelne größer als \(\lambda x\) gewählt werden kann. Eine Folge \(F\) heißt endlich eine beständige Basis der natürlichen Zahlen, wenn jede in ihr dichte Teilfolge eine Basis ist. Ergebnisse: Man zeigt elementar die Ungleichung \[ 1-D(F_1+F_2+\cdots +F_n)\leq \bigl (1-D(F_1)\bigr )\bigl (1-D(F_2 )\bigr )\dots \bigl (1-D(F_n)\bigr ) \] und schließt daraus, daß die Summenfolge von \(n\) Folgen \(F_1,F_2,\dots,F_n\) mit \[ \root {n}\of {D(F_1)D(F_2)\dots D(F_n)}\geq \frac {\log (n-1)}{n-1} \] jede natürliche Zahl enthält. Daraus folgt insbesondere, daß jede Folge, die dicht oder auch nur fast dicht ist, eine Basis der natürlichen Zahlen darstellt. Entsprechenderweise läßt sich zeigen, daß jede Folge mit starker positiver Dichte eine starke Basis der natürlichen Zahlen bildet. Für alle Folgen mit positiver Dichte ist also die Frage der Darstellbarkeit natürlicher Zahlen als Summe endlichvieler Elemente der Folge vollständig gelöst. Auch für Folgen \(F\) der Dichte Null läßt sich die Basiseigenschaft zeigen, falls man nachweisen kann, daß eine natürliche Zahl \(u\) existiert, so daß \(uF\) positive Dichte hat. Hierfür leitet der Verf. auf elementarem Wege folgende drei hinreichenden Bedingungen ab: Kriterium 1: Das allgemeine Glied \(f_i\) der Folge \(F\) genüge der Ungleichung \(f_i\leq i\varphi (i)\), wo \(\varphi (i)>0\) eine monoton wachsende Funktion ist; ferner sei \(f_1=1\). Es sei \(B(z)\) die Anzahl der Lösungen der Gleichung \(f_i+f_j=z\) und \[ \sum _{z=1}^x B(z)^2=O\biggl (\frac {x^3}{\varphi (x)^4}\biggr ). \] Dann bildet \(F\) eine (sogar beständige) Basis der natürlichen Zahlen, und \(2F\) hat positive Dichte. Kriterium 2: In den Voraussetzungen des vorigen Kriteriums genüge \(\varphi (i)\) der Ungleichung \(\varphi (i)=O(\sqrt i)\). Es sei \(A(y,x)\) die Anzahl der Lösungen von \(f_i-f_j=y\), \(f_i\leq x\), \(f_j\leq x\), und hierfür gelte \[ \sum _{y=1}^x A(y,x)^2 = O\biggl (\frac {x^3}{\varphi (x)^4}\biggr ). \] Dann bildet \(F\) eine (sogar beständige) Basis der natürlichen Zahlen, und \(2F\) hat positive Dichte. Kriterium 3: Der Folge \(F=\{f_1,f_2,f_3,\dots \}\) beliebiger natürlicher Zahlen werde für jedes \(x>0\) und jedes reelle \(y\) die trigonometrische Summe \[ f(x,y) = \sum _{f_\nu \leq x} e^{2\pi i~f_\nu y} \] zugeordnet. Wenn dann eine natürliche Zahl \(u\) und eine nicht von \(x\) abhängige positive Zahl \(C\) existieren, so daß für jedes natürliche \(x\) \[ \int \limits _0^1 |f(x,y)|^{2u}\,dy<C\frac {\Bigl ( N_F\bigl (\tfrac {x}{u}\bigr )\Bigr )^{2u}}{x}, \] oder so daß für jedes natürliche \(x\) \[ \sum _{a=0}^{x-1}\Bigl |f\Bigl (x,\frac {a}{x}\Bigr )\Bigr |^{2u}<C\biggl ( N_F\Bigl (\frac {x}{u}\bigr )\biggr )^{2u} \] ist, so ist \(F\) eine (sogar beständige) Basis der natürlichen Zahlen, und \(uF\) hat positive Dichte. Aus dem zweiten Kriterium gewinnt der Verf. folgenden Satz: ``Die Folge \(p_1=1\), \(p_2,p_3,\dots \), wo \(p_2,p_3,\dots \) die wachsend angeordneten Primzahlen sind, bildet eine beständige Basis der natürlichen Zahlen; dasselbe gilt noch, wenn \(p_2,p_3,\dots \) nur die Primzahlen der Form \(p\equiv a\pmod k\) sind, wo \((a,k) =1\) ist.'' Zum Beweis wird vom Verf. nach dem \textit{Viggo Brun}schen Verfahren gezeigt, daß die Anzahlfunktion \(A(y,x)\) für genügend großes \(x\) und für \(0<y\leq x\) kleiner als \(\text{const}\cdot \dfrac {x}{(\log x)^2}S(y)\) ist, wo \[ S(y) \prod \limits _{\substack{ p\mid y\\p\geq 17 }} \frac {p}{p-2} \] der Ungleichung \(\sum \limits _{y=1}^x S(y)^2<\text{const}\cdot x\) genügt; ferner ist \(p_i = O(i\log i)\). Unter Benutzung \textit{van der Corput}scher und \textit{Weyl}scher Abschätzungen für trigonometrische Summen wird weiter aus dem dritten Kriterium folgende Verallgemeinerung des \textit{Waring}schen Satzes gewonnen: ``Ist \(p\) eine beliebige natürliche Zahl, so bildet die Folge der Zahlen \(1^p,2^p,3^p,\dots \) eine beständige Basis der natürlichen Zahlen.'' Von weiteren Funktionen, für die mittels eines allgemeinen Satzes die Basiseigenschaft nachgewiesen wird, seien \([n\log n]\), \([\log \Gamma (n)]\) und \([n\log \log n]\) genannt; dabei läuft \(n\) durch die Werte \(1,2,3,\cdots \).