On van der Corput's method and the zeta-function of Riemann. I, II. (Q5924917)

Es handelt sich in beiden Arbeiten um die Anwendung von Sätzen über allgemeine trigonometrische Summen der Form \[ \sum _n e^{2\pi i f(n)} \] mit einer reellen Funktion \(f(n)\) auf Fragen der analytischen Zahlentheorie, insbesondere auf Gitterpunktsfragen, und auf die \textit{Riemann}sche Zetafunktion. Verf. beweist in der ersten Arbeit auf bedeutend vereinfachtem Wege die \textit{Nieland}sche Abschätzung (1928; F. d. M. 54, 200 (JFM 54.0200.*)-201) \[ R(x) = \pi x + O\bigl (x^{\tfrac {27}{82}}\bigr ) \] für die Anzahl \(R(x)\) der Gitterpunkte im Kreise \(u^2+v^2\leq x\) und ferner auf jeder Vertikalgeraden \[ \sigma = \frac {1-(q+1)}{4Q-2}\quad (q=2,3,4,\dots ; Q=2^{q-1}) \] der \((\sigma +it)\)-Ebene die folgende Vereinfachung einer \textit{van der Corput-Koksma}schen Abschätzung: \[ \zeta (\sigma +it) = O\Bigl (t^{\tfrac {1}{4Q-2}}\log t\Bigr ). \] (Im Gegensatz zu dem Ergebnis von \textit{van der Corput} und \textit{Koksma} beweist. Verf. dies nicht gleichmäßig für die fraglichen Vertikalgeraden.) In der zweiten Arbeit handelt es sich um den vereinfachten Beweis der Abschätzung \[ \zeta \Bigl (\frac 12 + it\Bigr ) = O(t^\vartheta ) \] mit \(\vartheta <\dfrac 16\), die von \textit{van der Corput} und \textit{Walfisz} für \(\vartheta = \dfrac {163}{988}\) bewiesen wurde, und die Verf. für \(\vartheta = \dfrac {27}{164}\) beweist. Das Kernstück der ersten Arbeit bildet der folgende Satz: Mit positivem ganzem \(k\) sei \(f(x)(k+1)\)-mal stetig differenzierbar und reell; es gelte für \(a\leq x \leq b\) mit positivem \(r_k\) \[ f^{(k+1)}(x) \geq r_k\text{ bzw. } f^{(k+1)}(x) \leq -r_k, \] ferner \[ |f^{(k)}(b) - f^{(k)}(a)| = (b-a)R_k. \] Dann ist mit \(0<\alpha _k<1\) und \(K=2^{k-1}\) \[ \sum _{a\leq n\leq b} e^{2\pi i f(n)} = O\biggl (\frac { (b-a)R_k^{\tfrac {1}{2K-1} } }{ r_k^{\tfrac {1}{4K-2}} } \biggr ) + O\biggl ( \frac {(b-a)^{ 1-\tfrac {1}{K} }R_k^{\alpha _k} }{ r_k^{\alpha _k+\tfrac {1} {4K-2}}}\biggr ). \] Den Zugang zu diesem Haupthilfsmittel liefern folgende Sätze: (1) \(f(x)\) sei reell und differenzierbar in \(a\leq x \leq b\), \(f'(x)\) daselbst monoton mit \(|f'(x)|\leq \tfrac 12\). Dann ist \[ \sum _{a\leq n\leq b} e^{2\pi i f(n)} - \int \limits _a^b e^{2\pi i f(x)}\,dx = O(1). \] (2) \(f(x)\) sei reell und zweimal stetig differenzierbar, und mit einer positiven Zahl \(r\) sei in \(a\leq x \leq b\) \[ f''(x)\geq r\text{ bzw. } f''(x) \leq -r. \] Dann ist \[ \int \limits _a^b e^{2\pi i f(n)}\, dx = O\biggl (\frac {1}{\sqrt r}\biggr ). \] Diese Hilfsmittel sind unvollständige Analoga des \textit{van der Corput}schen Theorems (1) (Math. Ann. 87 (1922), 39-65; F. d. M. 48, 181 (JFM 48.0181.*)), das eine Art von ``approximate functional equation'' bildet. Ferner spielt folgender Satz eine Rolle: (3) \(f(x)\) sei reell; dann ist mit ganzem \(\varrho \) aus \(0<\varrho \leq b-a\) \[ \sum _{a\leq n \leq b} e^{2\pi i f(n)} = O\Bigl (\frac {b-a}{\sqrt \varrho }\Bigr ) + O\left (\biggl (\frac {b-a}{\varrho }\sum _{s=1}^{\varrho -1}\Bigl | \sum _n e^{2\pi i(f(n+s)-f(n))}\Bigr |\biggr )^{\frac 12}\right ); \] dabei ist die innere Summe auf der rechten Seite über alle \(n\) mit \(a\leq n\leq b-s\) zu erstrecken. Dieser Satz entspricht einer Überlegung vom \textit{Weyl}schen Typus (1916; F. d. M. 46, 278 (JFM 46.0278.*)-280). In der zweiten Arbeit fügt Verf. diesen Hilfssätzen die folgende Vervollständigung der Sätze (1) und (2) in der \textit{van der Corput}schen Richtung hinzu: (4) \(f(x)\) sei reell; \(f'(x)\) existiere und sei in \(\langle a,b\rangle \) stetig und beständig abnehmend, und es sei \(f'(a) =\alpha \), \(f'(b) =\beta \). Dann ist \[ \sum _{a\leq n\leq b} e^{2\pi i f(n)} = \sum _{\alpha -1<\nu <\beta +1}\int \limits _a^b e^{2\pi i(f(x)-\nu x)}\,dx + O\bigl (\log (\beta - \alpha +2)\bigr ). \] In Verbindung mit dem dritten Satz füht dies auf folgenden Satz: \(f(x)\) genüge außer den Voraussetzungen von Satz (4) den Bedingungen: \(f''(x)\) und \(f'''(x)\) sollen existieren und stetig sein, und es soll in \(\langle a, b\rangle \) mit einer absoluten positiven Konstanten \(A\) \[ m_2\leq |f''(x)|<Am_2,\quad |f'''(x)|<Am_3 \] gelten. Für \(\nu \) aus \(\alpha \leq \nu \leq \beta \) sei \(n_\nu \) so gewählt, daß \(f'(n_\nu )=\nu \) gelte. Dann ist \[ \begin{gathered} \sum _{a\leq n\leq b}e^{2\pi i f(n)} = e^{ -\tfrac {\pi i}{4} }\sum _{\alpha \leq \nu \leq \beta }\frac { e^{2\pi i(f(n_\nu )-\nu n_\nu )} }{|f''(n_\nu )|^{\frac 12}}\\ +O\Bigl (m_2^{-\tfrac 12}\Bigr ) + O\bigl (\log (2+(b-a)m_2\bigr ) + O\Bigl ((b-a)m_2^{\tfrac 15}m_3^{\tfrac 15}\Bigr ). \end{gathered} \] Daraus ergibt sich das erwähnte Hauptergebnis der zweiten Arbeit über die Zetafunktion. (IV 4, 6A.)