A note on sequences determined by a recurrence relation. (Q5924920)

Mit Hilfe eines \textit{Toeplitz}schen Satzes beweist Verf. den folgenden Satz sowie weitere verwandte Sätze: Se sei \[ \sum _{n=2}^\infty \frac {|b_n|}{|a_na_{n-1}|} \] konvergent, \(a_n<1\) für alle \(n\), ferner \[ \lim \limits _{n\to \infty }\prod _{r=1}^n a_r=0, \] und es gelte \(|c_n|\leq K(1-|a_n|)\) für alle \(n\) mit festem \(K\). Wird dann \[ u_n = a_nu_{n-1}+b_nu_{n-2}+c_n\theta _n \] gesetzt, und ist \(\lim \limits _{n\to \infty }\theta _n=0\), so ist auch \(u_n\) eine Nullfolge. Für \(b_n=0\) ergibt sich hieraus eine triviale Umformung des folgenden Satzes von \textit{Copson} und \textit{Ferrar} (1929; F. d. M. \(55_{\text I}\), 123-124): Die Folge \(u_n\) ist eine Nullfolge, wenn die aus den \(u_n\) mit Hilfe einer Folge positiver Zahlen \(p_n\) mit divergenter Reihe \(\sum \dfrac 1{p_n}\) und mittels einer Folge komplexer Zahlen \(q_n=\varrho _n+i\sigma _n\) mit \(\lim \inf \varrho _n=h>0\) gebildete Zahlenfolge \[ (p_n+q_n)u_n-p_nu_{n-1} = y_n \] eine Nullfolge ist. In der zweiten Note werden Ergänzungen und Erweiterungen eines in der ersten Note benutzten Hilfssatzes gegeben.