Sur les ensembles compacts de fonctions sommables. (Q5924928)

Es sei \(R\) ein euklidischer Raum mit endlich vielen Dimensionen, \(x\) ein Punkt von \(R, dx\) das entsprechende Volumelement, \(x+h\) das Ergebnis der auf den Punkt \(x\) angewendeten Verschiebung \(h,|h|\) der in euklidischer Metrik gemessene absolute Betrag von \(h\). Mit \(L^p\) wird, wie üblich, für ein festes \(p \geqq 1\) die Klasse der in \(R\) definierten und meßbaren Funktionen bezeichnet, für welche das Integral \[ \int _R |f(x)|^p dx \] existiert. Verf. setzt für eine solche Funktion \[ ||f|| = ||f(x)|| = \left \{\int _R |f(x)|^p dx\right \}^{\frac {1}{p}} \tag{1} \] und \[ ||f||_E = ||f(x)||_E = \left \{\int _E |f(x)|^p dx\right \}^{\frac {1}{p}}, \tag{2} \] wenn \(E\) eine beliebige meßbare Teilmenge von \(R\) bedeutet. Die \textit{Minkowskis}che Ungleichung \[ ||f + g|| \leqq ||f|| + ||g|| \tag{3} \] besagt, daß die Gesamtheit der betrachten Funktionen \(f(x)\) durch (1) zu einem metrischen Raum gemacht wird. Ferner nennt Verf. eine positive Zahl \(M\) eine \textit{Schranke} von \(f(x)\), wenn \[ ||f(x)|| \leqq M \tag{4} \] ist. Unter diesen Festsetzungen gilt zunächst für jede Funktion \(f(x)\) der Klasse \(L^p\) \[ \lim _{|h| \rightarrow 0} ||f(x + h) - f(x)|| = 0. \tag{5} \] Das ist für \(p = 1\) eine bekannter \textit{Lebesgues}cher Satz; der Beweis für \(p = 1\) überträgt sich aber ohne Weiteres auf den hier vorliegenden allgemeineren Fall \(p \geqq 1\). Schließlich versteht Verf. unter \(E_A\) die Gesamtheit derjenigen Punkte von \(R\), für die der Abstand von einem festen Punkt von \(R\) größer als \(A\) ist; dann gilt \[ \lim _{A \rightarrow \infty } ||f||_{E_A} = 0. \tag{6} \] Nach \textit{Fréchet} heißt eine Funktionmenge \(\{f(x)\}\) aus der Klasse \(L^p\) ``kompakt im Sinne \(L^p\)'', wenn jede unendliche Teilmenge von \(\{f(x)\}\) eine Folge enthält, die im Sinne \(L^p\) eine Grenzfunktion besitzt. Den hauptsächlichen Gegenstand der vorliegenden Arbeit bildet der Beweis des folgenden Satzes: Eine Funktionenmenge \(\{f(x)\}\) aus der Klasse \(L^p\) ist dann und nur dann im Sinne \(L^p\) kompakt, wenn die Beziehungen (4), (5) und (6) gleichmäßig für alle Funktionen der Menge \(\{f(x)\}\) gelten. Vgl. dazu die Arbeiten von \textit{A. Kolmogoroff}, ``Über die Kompaktheit der Funktionenmengen bei der Konvergenz im Mittel'' (Nachrichten Göttingen 1931, 60-63; F. d. M. 57) und \textit{J. D. Tamarkin} ``On the compactness of the space \(L_p\)'' (Bulletin A. M. S. 38 (1932), 79-84; F. d. M. 58). (IV 7.)