On the asymptotic periods of integral functions. (Q5924952)

Es sei \(f(z)\) eine ganze Funktion, \(\omega \) eine komplexe Zahl, derart, daß\^^M \[ f(z+\omega )-f(z)=g(z) \] kleinere Ordnung als \(f(z)\) hat. Dann heißt \(\omega \) eine asymptotische Periode von \(f(z)\). (Bei unendlicher Ordnung von \(f(z)\) soll \(g(z)\) von endlicher Ordnung sein.) Dann sind für die Menge \(B\) der asymptotischen Perioden nur folgende drei Fälle möglich: (1) \(B\) ist leer. (2) \(B\) besteht aus den Veilfachen einer Zahl. (3) \(B\) besteht aus einer überall dichten Menge von Punkten auf einer Geraden durch den Ursprung. Im Zusammenhang hiermit beweist Verf. auch folgenden Zusatz zu einem bekannten Satz von \textit{Guichard}: Ist \(f(z)\) eine ganze Funktion der Ordnung \(\varrho \), so gibt es eine Funktion \(g(z)\), deren Ordnung \(\leqq \text{Max}(1,\varrho )\) ist, und die der Gleichung \[ g(z+1)-g(z)=f(z) \] genügt.