Beiträge zur Theorie der schlichten Funktionen. (Q5924958)

Ist \(f(z)=z+a_2z^2+\cdots \) in \(| z| <1\) eine konvexe Abbildung, so ist \[ \mathfrak R\left ( \frac {f(z)}{z}\right ) \geqq \dfrac 12, \quad \mathfrak R\left ( z\frac {f'(z)}{f(z)}\right ) \geqq \dfrac 12 \] in \(| z| <1\). Die Schranke \(\dfrac 12\) kann in keiner der beiden Aussagen vergrößert werden. (Das Ergebnis hatte auch schon \textit{A. Marx} auf anderm Wege gefunden: Untersuchungen über schlichte Abbildungen, Math. Ann. 107 (1932), 40-67; F. d. M. 58.) Hieraus ergeben sich die bisher bekannten Abschätzungen für \(f(z), f'(z), \arg f'(z)\) in verschärfter Form aufs neue. Es folgt aber auch \[ \Bigg | \arg \frac {f(z)}{z}\Bigg | \leqq \arcsin r, \qquad | z| \leqq r<1. \] Ferner ergeben sich Analoga zu \textit{Szegö}schen Sätzen über nächste Randpunkte auf regelmäßig verteilten Ursprungsvektoren für konvexe Abbildungen. Endlich zeigt Verf., daß\ bei beliebiger schlichter Abbildung des \(| z| <1\) durch \(z+a_2z^2+\cdots \) das Bildgebiet vom Nullpunkt ausgehende Strecken enthält, deren Länge größer als 0,73 ist.