A matrix representation of ascending and descending continued fractions. (Q5925030)

Verf. gibt einen kurzen Abriß einer Matrixdarstellung für auf- und absteigende Kettenbrüche. Ist \(I_m\) eine Matrix der Gestalt: \[ I_m= \begin{pmatrix} a_{1m} & 1 & 0 & \hdots & 0\\ a_{2m} & 0 & 1 & \hdots & 0\\ \cdot & \cdot & \cdot & \hdots & \cdot \\ a_{km} & 0 & 0 & \hdots & 0 \end{pmatrix} \] in \(k\) Zeilen und Spalten, \(I_{m,0}\) die erste Spalte von \(I_m\), so heißt das Produkt \[ I_1I_2 \hdots I_n \hdots \] zyklischer absteigender \(k\)-dimensionaler Kettenbruch. Als \(n\)-te Näherung bezeichnet man den Vektor \[ N_n = I_1I_2 \hdots I_{n-1}I_{n,0}. \] Hat \(N_n\) die Gestalt \[ N_n = \begin{pmatrix} p_{1n}\\ \vdots \\ p_{kn} \end{pmatrix}, \] so heißt Wert des Kettenbruchs der Limes für \(n \rightarrow \infty \) des Bruches \[ p_{1n}:p_{2n}:\hdots :p_{kn}, \] falls er existiert. Damit ist die formale Darstellung des \(k\)-dimensionalen absteigenden Kettenbruchs gegeben. Über spezielle Dinge macht Verf. noch einige Ausführungen, die aber nur im Formalen bleiben. Ähnlich werden nichtzyklische Kettenbrüche und aufsteigende Kettenbrüche durch Matrizen ähnlicher Gestalt formal dargestellt.