On the greatest prime factor of a certain product. (Q5925053)

Die Funtktion \[ f(x) = (1+1^2) (1+2^2) \dots (1+x^2) \] habe den größten Primzahlfaktor \(P_x\). Es ist ein bekanntes Ergebnis, daß \[ \lim _{x \to \infty } \frac {Px}{x} = \infty \] ist (\textit{Landau}, Handbuch der Lehre ven der Verteilung der Primzahlen I (1909; F. d. M. 40, 262 (JFM 40.0262.*)-234), S. 559-561). \textit{Chowla} (1929; JFM 55.0709.*) bewies: Wenn \(\varepsilon > 0\) ist, gilt für alle \(x\) von einem geeigneten \(\xi \) an aufwärts \[ P_x > (2 - \varepsilon ) x \log x. \] Verf. beweist nun, daß \[ P_x > 2x \log x-2 Bx \] für alle \(x\) oberhalb eines von \(B\) abhängigen \(x_0\). Dabei muß \[ B \geqq \frac {3 \log 2}2 + 11 + 2C \] sein, wenn \[ C= \lim _{x \to \infty } \left \{ \sum _{p \equiv 1 {\text{(mod 4)}} p \leqq x} \frac {\log p}{p} - \frac 12 \log x \right \} \] gesetzt ist. Der Beweis wird indirekt geführt, und zwar durch Unteruschung von \(\log f(x)\). Die entstehende Summe wird augeteilt nach \(p<2x\) und \(2x< p \leqq 2x-2 Bx\). Die Abschätzung der zweiten Summe stützt sich auf \textit{Chowla}s Arbeit.