On the summability of Fourier series. III. (Q5925074)

Es sei \(q(u)\) in dem abgeschlossenen Intervall \((0,1) \) von beschränkter Schwankung und so, daß \(q(0)=q(+0)=0,q(1)=1\) ist. Weiter sei mit \(s_n\) die Summer der \(n\) ersten Ausdrücke einer Reihe \(\sum a_\nu\) bezeichnet. Die Reihe \(\sum a\nu\) heißt summierbar (\textit{Hausdorff}) mit der Belegungsfunktion \(q(u)\) oder summierbar \([H,q(u)]\) zur Summe \(s\), wenn für \(n\lim \infty\) gilt: \[ y_n \equiv \sum _{k=1}^n {n \choose k} s_k \int \limits _0^1 u^k (1-u)^{n-k} dq (u) \to s. \] (Vgl. \textit{Hausdorff}, M. Z. 9 (1921), 74-109.) In der vorliegenden Abhandlung diskutieren die Verf. notwendige, hinreichende und notwendige und hinreichende Bedingungen für \(q(u)\), damit Reihen von jedem der Reihentypen (a), (b), (c), (d) der Abhandlung I (1928; F. d. M. 54, 304 (JFM 54.0304.*)) summierbar \([H, q(u)]\) sind für alle Werte von \(x\), bei welchen die Funktion \(f(x)\), die entwender nach \textit{Lebesgue} integrierbar oder von beschränkter Schwankung sein soll, einer der sechs Regularitätsbedingungen aus Abhandlung I genügt. Es wird gezeigt, daß dies Probem eng zusammenhängt mit dem Problem, ob die \textit{Fourier}transformierte einer Funktion \(a(u)\) über das Intervall \((-\infty, \infty )\) nach \textit{Lebesgue} absolut integrierbar ist, und deshalb schießen die Verf. einen 16-seitigen, ziemlich ins Einzelne gehenden Bericht über das letztere Problem mit ein, in dem sie verschiedene Bedingungen für die absolute Integrierbarkeit einer \textit{Fourier}transformierten erhalten. Diese Bedingungen sind Analoga zu bekannten oder neuen Bedingungen für die absolute Konvergenz einer \textit{Fourier}reihe. Man schreibe \[ C(s) = \left ( \frac 2{\pi } \right )^{\frac 12} \int \limits _0^1 [q (u) - u ] \cos su \quad du, \] \[ S(s) = \left ( \frac 2{\pi } \right )^{\frac 12} \int \limits _0^1 [q (u) - u ] \sin su \quad du, \] \[ q_0(u) = \int \limits _0^u |dq (\upsilon ) |, \] \[ T(\varepsilon ) = \int \limits _\varepsilon ^1 \frac {q_0 (u)}{u} du + \int \limits _0^{1-\varepsilon } \frac {q_0 (1) - q_0 (u)}{1-u} du \] und deute die Tatsache, daß eine Funktion \(G(s)\) im Intervall \((-\infty, \infty )\) nach \textit{Lebesgue} absolut integrierbar ist, durch folgende Schreibweise an: \(G(s) \varepsilon |L|\). Dann beweisen die Verf. (unter anderen) über das Hauptproblem folgende Sätze: (A) Wenn \(f(x)\) nach \textit{Lebesgue} integrierbar ist, so ist die Bedingung \[ C(s) \varepsilon |L| \] notwendig für die Summierbarkeit \([H, q(u)]\) der \textit{Fourier}reihe von \(f(x)\) an jedem Punkt \(x=x_0\), an welchen für \(t \to 0\) gilt: \[ \Phi (t) \equiv f(x_0 + t) + f(x_0 - t) - 2f (x_0) = o (1). \] In einer dem Beweis zugefügten Fußnote erwähnen Verf., daß sie inzwischen gezeigt haben, daß die Bedingung auch hinreichend ist. (B) Wenn \(f(x)\) nach \textit{Lebesgue} integrierbar ist, so sind die beiden Bedingungen \[ |C (s) | \leqq K(s), \] wo \(K(s)\) für \(s > 0\) monoton abnehmend und \(K(s) \varepsilon |L|\) ist, und \[ \lim _{\varepsilon \to 0} T(\varepsilon ) < \infty \] hinreichend für die Summierbarkeit \([H, q(u)]\) der \textit{Fourier}reihe von \(f(x)\) an jedem Punkt \(x=x_0\) an dem für \(t \to 0\) gilt: \[ \int \limits _0^t |\Phi (s) | ds = o (t). \] (C) Wenn \(f(x)\) von beschränkter Schwankung ist, so sind, wenn man \[ \chi ^{(t)} = f(x_0 + t) - f(x_0 - t)- 2 tf' (x_0) \] setzt, die beiden Bedingungen von (B) auch hireichend für die Summierbarkeit \([H, q(u)]\) der durch formale Differentiation der \textit{Fourier}reihe von \(f(x)\) erhaltenen Reihe an jedem Punkt \(x=x_0\), an welchem für \(t \to 0\) gilt: \[ \int \limits _0^t |d_s \chi (s) | = o(t). \] (D) Wenn man in den Sätzen (B) und (C) \(C(s)\) durch \(S(s)\) ersetzt, so erhält man hinreichende Bedingungen für die Summierbarkeit \([H, q(u)]\) (an allen Punkten, an denen die entsprechenden Regularitätsbedingungen erfüllt sind) (1) der zu der \textit{Fourier}reihe einer integrierbaren Funktion \(f(x)\) konjugierten Reihe zu der durch formale Differentiation der \textit{Fourier}reihe einer Funktion \(f(x)\) mit beschränktter Schwankung erhaltenen Reihe. Indem die Verf. von ihren Resultaten betreffs der absolut integrierbaren \textit{Fourier}transformierten Gebrauch machen, geben sie eine Anzahl Methoden an, um eine Funktion \(q(u)\) so zu konstruieren, daß die Transformation \([H, q(u)]\) geeignet ist, Reihen von einem oder mehreren der betrachten Typen zu summieren. Zur Illustration der hier erhaltenen Resultate sei folgender Satz angeführt: Wenn \(q(u)\) entweder konkav oder konvex ist, und wenn \[ \int \limits _0^1 \frac {q(u)|}{u} du + \int \limits _0^1 \frac {|1-q(u)|}{1-u} du \] beschränkt ist, dann summiert die Transformation \([H, q(u)]\) die trigonometrischen Reihen in allen sechs in Abhandlung I betrachteten Fällen. Es bedeute \(|L_p| (p \geqq 1)\) die Klasse der Funktionen \(g(u)\), für welche \(|g(u)|^p\) in \((-\infty, \infty )\) integrierbar ist, so daß \(|L_1|\) die oben mit \(|L|\) bezeichnete Klasse ist. In diesem Abschnitt, der sich mit \textit{Fourier}transformierten beschäftigt, beweisen die Verf., daß, wenn \(g_1(u)\) und \(g_2(u)\) beide zu \(|L_2|\) gehören, die \textit{Fourier}transformierte von \[ g(u) = (2 \pi )^{-\frac 12} \int \limits _{-\infty }^\infty g_1 (t) g_2 (u-t) dt \] zu \(|L_1|\) gehört. In einem Anhang beweisen sie, daß dieseer Satz nicht richtig bleibt, wenn man anstatt der obigen Voraussetzung betreffend \(g_1 (u)\) und \(g_2 (u)\) die Annahme macht, daß \[ g_1(u) \varepsilon |L_p|, \quad g_2(u) \varepsilon |L_{p'}| \] ist, mit \(1 < p < 2, \frac 1{p} + \frac 1{p'} = 1\).