A class of Fourier kernels. (Q5925098)

Es liegt dasselbe Problem wie in der vorstehend referierten Arbeit von \textit{Watson} vor, alle selbstreziproken Transformationen zu bestimmen, deren Kern nur von dem Produkt der Variablen \(x\) und \(y\) abhängt. \textit{Watson} wählte als Funktionenraum die Klasse \(L^2(0, \infty )\) und konnte daher ein Resultat erzielen, das ebenso glatt ist wie das von \textit{Plancherel} (und \textit{Titchmarsh}) bezüglich der speziellen \textit{Fourier}-Transformation erreichte. Die Verf. dagegen suchen mehr ein Analogon zur klassischen Theorie der \textit{Fourier}-Transformation, bei der nicht bloß\^^M\(\int \limits _{0}^{x}g(\xi )d\xi \) und dann erst fast überall \(g(x)\) durch Differentiation geliefert wird (siehe die bei \textit{Watson} zugrunde gelegte Form), sondern wo \(g(x)\) durch einen konvergenten oder wenigstens durch einen Mittelwertsprozeß\ (Summation nach \textit{Cesàro} u. ä. ) dargestellt wird. Die Resultate sind daher ähnlich kompliziert wie in der klassischen Theorie der \textit{Fourier}-Transformation. Die Grundlage bildet folgende, zunächst rein formale Ableitung: Es sei \[ G(x)=\int \limits _{0}^{\infty }K(xy)F(y)dy \tag{1} \] und \[ F(x)=\int \limits _{0}^{\infty }K(xy)G(y)dy. \tag{2} \] Bildet man die \textit{Mellin}-Transformierten \[ \begin{gathered} k(s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}K(x)dx, \\ f(s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}F(x)dx, \quad g(s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}G(x)dx \end{gathered} \] so liefert (1): \[ \begin{gathered} g(s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}ds \int \limits _{0}^{\infty }K(xy)F(y)dy= \int \limits _{0}^{\infty }F(y)dy\int \limits _{0}^{\infty } x^{s-1}K(yx)dx\\ =\int \limits _{0}^{\infty }y^{-s}F(y)dy\int \limits _{0}^{\infty } \omega ^{s-1}K(\omega )d\omega = f(1-s)k(s) \end{gathered} \] und entsprechend (2): \[ f(s)=g(1-s)k(s). \] Durch Elimination folgt: \[ k(s)k(1-s)=1. \] \(K\) muß\ also eine \textit{Mellin}-Transformierte \(k\) haben, die dieser Bedingung genügt; aus \(k\) erhält man \(K\) durch die \textit{Mellins}sche Umkehrformel: \[ K(x)=\frac {1}{2\pi i}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty } x^{-s}k(s)ds. \] Es kommt nun darauf an, die Voraussetzungen so zu wählen, daß\ die obigen Umformungen in irgendeinem Sinne ligitim werden. \[ Summabilit\ddot at. \] Satz 1. \(k(\frac 12+it)\) genüge folgenden Bedingungen: {\parindent=8mm \begin{itemize}\item[(a)]es ist beschränkt; \item[(b)]\(k(\dfrac 12+it)=e^{i(t\log t-t)}\{ \alpha +\beta (t)+\gamma (t)\}\)\newline für \(t>1\), wo \(\alpha =\text{const}, \beta (t)\) monoton gegen 0 strebt und \(\gamma (t)\) beschränkt und integrablen in \((1, \infty )\) ist; \[ k(\dfrac 12+it)=e^{i(t\log | t| -t)} \{ \alpha '+\beta '(t)+\gamma '(t)\} \] für \(t<-1\), wo \(\alpha ', \beta ', \gamma '\) dieselben Bedingungen erfüllen wie \(\alpha, \beta, \gamma \); \item[(c)]\(k\left ( \dfrac 12+it\right ) k\left ( \dfrac 12-it\right ) =1. \)\newline \(y^{-\tfrac 12}F(y)\) sei integrabel in \((0, 1)\) und \(F(y)\) in \((1, \infty )\). \(x\) sei positiv und \(F(y)\) von beschränkter Variation bei \(y=x\). Dann ist \[ \lim \limits _{\lambda \to \infty }\int \limits _{\tfrac {1}{\lambda }}^{\lambda } \Big ( 1{-}\frac {| \log u| }{\log \lambda }\Big ) K(xu)du \int \limits _{0}^{\infty }K(uy)F(y)dy= \frac {F(x+0)+F(x-0)}{2}. \] \end{itemize}} \[ Konvergenz. \] Satz 3. \(k(s)\) erfülle die Bedingungen: \(k(s)\) ist regulär in einem Streiffen \(\sigma _1<\sigma <\sigma _2\), wo \(\sigma _1<0, \sigma _2>1\), außer eventuell endlich vielen einfachen Polen auf der imaginären Achse; für große positive \(t\) ist \[ k(s)=\sqrt {\frac {2}{\pi }}\varGamma (s)\cos \frac {\pi s}{2} \left \{ \alpha +\frac {\beta }{s}+ O\left ( \frac {1}{| s| ^2}\right ) \right \}, \] analog für große negative \(t\). Ferner sei \(k(s)k(1-s)=1, F(y)\) in \((0, \infty )\) integrabel, \(x\) positiv und \(F(y)\) von beschränkter Variation bei \(y=x\). Dann ist \[ \int \limits _{0}^{\infty }K(xu)du \int \limits _{0}^{\infty }K(uy)F(y)dy=\frac 12\{ F(x+0)+F(x-0)\}. \]