Operational calculus. I: The definition of an operational representation of a function and some properties of the operator, derived from this definition. II: The values of certain integrals and the relationships between various polynomials and series obtained by operational methods. (Q593338)

I. Verf. finder es zweckmäßig, der Operatorenrechnung statt des \textit{Carson}schen Integrals (C. I.) folgende Erklärung zugrunde zu legen: \(f(p)\) heißt Bild von \(h(x)\), \(f(p) \doteqdot h(x)\), wenn \(f\) eine Lösung der Integralgleichung \[ h(x)=\frac 1{2\pi i} \int _{\mathfrak C} e^{px} \frac {f(p)}{p} \,dp \tag{1} \] ist, wo \(\mathfrak C\) anders als in der Formel von \textit{Bromwich} eine Integrationslinie von \(-\infty - 0i\) nach \(-\infty +0i\) bedeutet, die alle Singularitäten von \(f(p)\) umschließt. (1) bietet vor C. I. den Vorteil, Bilder auch von Funktionen zu liefern, die das C. I. divergent machen; ferner, die Beziehung \[ pf(p) \doteqdot h'(x) \] bestehen zu lassen, auch wenn \(h(0) \neq 0\). Ein Nachteil von (1) gegenüber C. I. liegt darin, daß \(f(p)\) durch (1) nicht eindeutig bestimmt ist. - Unter gewissen Voraussetzungen über \(f(p)\) findet Verf. im einzelnen die Werte \[ h(0) = \text{ Res}_{\infty } \frac {f(p)}{p}, \; h(\infty )= \text{ Res}_0 \frac {f(p)}{p} \] (S. 1033, (20) lies \(h(\infty )\) statt \(h(0)\)). Als Urbilder von \(\frac {f(p)}{p}\) ermittelt er anders als beim C. I. \[ \frac {f(p)}{p} \doteqdot \int _0^x h(t)\,dt + \text{ Res}_{\infty } \frac {f(p)}{p^2}, \; \frac {f(p)}{p} \doteqdot \int _{\infty }^x h(t)\,dt + \text{ Res}_0 \frac {f(p)}{p^2} \] (S. 1033, (24) lies \(\int _{\infty }^x\) statt \(\int _0^x\)). Verf. berechnet dann das Bild von \(\frac {h(x)}{x}\) und anschließend \[ \int _0^{\infty } \frac {h(x)}{x}\,dx=(\text{ Res}_0 - \text{Res}_{\infty })\left (\frac 1{p} \int _a^p \frac {f(p)}{p}\,dp \right ), \] worin \(a\) fest; diese Formel liefert ihm das Integral \[ \int _0^{\infty } \frac {e^{-cx} -J_0(bx)}{x}\,dx =\log \frac {2c}{b}. \] Als Bild von \(x^r h(x)\) mit natürlichem \(r\) erhält er \[ p\left ( -\frac {d}{dp}\right )^r \left ( \frac {f(p)}{p}\right ) \doteqdot x^r h(x), \; \mathfrak {R} (x) >0. \tag{2} \] Verf. kehrt (1) auch um: Ist \(h(x)\) singularitätenfrei außer in \(x-0\) und gilt \[ h(x) \to Ax^m (m>-1) \; \text{ für } x\to 0; f(p) \doteqdot h(x), \] so gilt \[ \frac {2\pi i}{1-e^{i2\pi m}} p h(pe^{i\pi }) \doteqdot \frac {f(x)}{x} \; \text{ bzw. } -p\log p h(-p) \doteqdot \frac {f(x)}{x}, \] je nachdem ob \(m\) nicht ganz oder ganz ist. Als Beispiel folgert Verf. die von \textit{van der Pol} (1929; JFM 55.0255.*) gefundene gegenseitige Abbildung zwischen den Kugel- und gewissen \textit{Bessel}schen Funktionen (S. 1045, (39) lies \(\cos n\pi \) statt \(\cos x\pi \); S. 1045, (40) und 1046, (41) \(\doteqdot \) statt =). - Zum Schlusse erörtert Verf. die Abkürzungen, die \textit{van der Pol}s operatorenrechnerische Integration von Differentialgleichungen (a. a. O.) beim Gebrauche von (2) zuläßt, an Hand der \textit{Bessel}schen und der \textit{Struve}schen Differentialgleichung. II. Verf. ermittelt zuerst das Bild einer natürlichen Potenz von \(\sin x\); aus diesem und dem von \textit{van der Pol} (a. a. O.) angegebenen Bilde der \(n\)-ten Kugelfunktion erhält er durch den Faltungssatz das Integral \[ \int _0^x P_m (\cos u) \sin ^{m-1} (x-u)\,du =\frac {\sin ^m x}{m}. \] Sodann wendet er sich zu den \textit{Bernoulli}schen und verwandten Polynomen. Dabei geht er von der Abbildung aus \[ \frac {p^{-n+1}}{e^p -1} \doteqdot \frac 1{(n-1)!} ((x-1)^{n-1} +\dots +(x-r)^{n-1}), \; r<x<r+1, \tag{1} \] wo \(n,r\) ganz, \(n>0\), \(r\geq 0\); eine zweite Gestalt des Urbildes von (1) gewinnt er durch eine Teilbruchentwicklung von (1), bei der als Vorzahlen der negativen Potenzen von \(p\) die \textit{Bernoulli}schen Zahlen \(B_k\) auftreten. Die beiden Urbilder setzt er gleich. Zu einem entsprechenden Ergebnisse gelangt er dadurch, daß er, wie eben den Ansatz (1), so jetzt den Ausdruck \(\frac 12 \frac {p^{-n+1}}{sh\frac 12 p}\) behandelt. Der Vergleich beider Ergebnisse führt z. B. für die Polynome \[ \begin{gathered} {}_1 \psi_n (x) =\frac {x^n}{n!} -\frac {x^{n-1}}{2(n-1)!} +\frac {B_1 x^{n-2}}{2! (n-2)!} -\frac {B_2 x^{n-4}}{4! (n-4)!} +\dots, \\ {}_{2} \psi _{n} (x)=\frac {x^n}{n!} -\frac {B_1 (2^2 -2) x^{n-2}}{2! (n-2)! 2^2} + \dots \end{gathered} \] zu der Beziehung \[ {}_2 \psi_n (x) = {}_1 \psi_n (x+\frac 12). \] Verf. knüpft dann an die Teilbruchentwicklung an \[ \pi \sqrt {p} \text{ ctgh} \pi \sqrt {p}=1+2\sum _{m=1}^{\infty } \frac {p}{p^2 +m^2} \] und leitet aus ihr operatorisch die lineare Theta-Verwandlung her (Ref. merkt an, daß schon vorher \textit{G. Doetsch} sie so gewonnen hatte, vgl. z. B. Jahresbericht D. M. V. 36 (1927), 1-30 (F. d. M. 53, 366 (JFM 53.0366.*)), insbes. S. 28). Indem er in der zugehörigen Formel \(x=p^{-1}\) setzt und sie dann abermals operatorisch behandelt, erhält er \[ 1+2\sum _{m=1}^{\infty } J_0 (2m\sqrt {x})=\frac 1{\sqrt {x}} +2\sum _{k=1}^r \frac 1{\sqrt {x^2 -k^2\pi ^2}}, \; r^2 \pi ^2 <x<(r+1)^2\pi ^2, \] eine Reihe von \textit{Schlömilch}scher Art. In ähnlicher Weise gewinnt er aus der Entwicklung \[ 2\sum _{m=1}^{\infty } \frac {p^2 q^2}{(p^2 +m^2)(q^2 +m^2)} =-1+\pi \left ( \frac {pq}{p+q} + \frac {2pq^2}{q^2 -p^2} \sum _{k=1}^{\infty } e^{-2k\pi q}\right ) \] für \(0<y<\pi \) die \textit{Bessel-Fourier}sche Reihe von \textit{Schlömilch}scher Art \[ 2\sum _{m=1}^{\infty } J_0 (2m \sqrt {x}) \cos my = \begin{cases} -1 &\text{ für } 0<x<\frac 14 y^2 ;\\ -1+(x-\frac 14 y^2)^{-\frac 12} &\text{ für } \frac 14 y^2 <x<\frac 14(2\pi -y)^2, \text{ usw.} \end{cases} \] Aus den gefundenen Entwicklungen leitet er die Summe z. B. der Reihen \[ \sum _{r=1}^{\infty } r^{-2} J_0 (rx), \;\sum _{r=1}^{\infty } r^{-1} J_0 (rx) \sin ry, \; \sum _{r=1}^{\infty } r^{-1} J_0 (rx) \cos ry \] her. Schließlich summiert er Reihen, die, wie die vorstehenden mit \textit{Bessel}schen Funktionen, mit den \textit{Struve}schen Funktionen \(S_n (x)\) gebildet sind: \[ S_n (x)=\sum _{k=0}^{\infty } \frac {(-1)^k (\frac 12 x)^{n+2k+1}}{\Pi (n+k+\frac 12) \Pi (k+\frac 12)}. \]