Complétude asymptotique pour l'équation des ondes dans une classe d'espaces-temps stationnaires et asymptotiquement plats. (Asymptotic completeness for the wave equation in a class of stationary and asymptotically flat space-times) (Q5936668)

On se place sur une variété lorentzienne orientable et orientable en temps, globalement hyperbolique, stationnaire et asymptotiquement plate. L'équation des ondes peut être décrite par une équation du premier ordre de la forme \(i\partial_t u= Lu\), où NEWLINE\[NEWLINEL= \begin{pmatrix} a^{1/2} & 0\\ 0 &-a^{1/2}\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -b & b\\ b &-b\end{pmatrix},\quad\text{avec }[b,a]\neq 0,NEWLINE\]NEWLINE et \(a\), respectivement \(b\), sont des réalisations auto-adjointes d'opérateurs différentiels du second, respectivement premier ordre, \(a\geq 0\).NEWLINENEWLINENEWLINEOn établit une estimation de \(M\) ouvre pour \(L\), des estimations de propagation et on construit la vitesse asymptotique \(P^+\). On décrit le spectre de l'observable \(P^+\) et finalement on prouve la complétude asymptotique, en comparant les dynamiques \(e^{-itL}\) et \(e^{-itL_0}\), où NEWLINE\[NEWLINEL_0= \begin{pmatrix} |D|& 0\\ 0 &-|D|\end{pmatrix}.NEWLINE\]