Generic polynomials for \(Q_8\)-, \(QC\)-, and \(QQ\)-extensions (Q5936935)

Für einen Körper \(K\) und eine endliche Gruppe \(G\) wird ein Polynom \(f(x,t_1,\dots, t_n)\in\)\break \(K[X,T_1,\dots, T_n]\) \(G\)-generisch bez. \(K\) genannt, falls 1) die Galoisgruppe von \(f(x,t_1,\dots, t_n)\) über \(K(T_1,\dots, T_n)\) zu \(G\) isomorph ist und 2) jede Galoissche Erweiterung eines \(K\) umfassenden Körpers \(L\) mit \(G\) als Galoisgruppe als Zerfällungskörper über \(L\) eines spezialisierten Polynoms \(f(x,\ell_1,\dots, \ell_n)\), \(\ell_1,\dots, \ell_n\in L\), erhalten werden kann. NEWLINENEWLINENEWLINEFür einen Körper \(K\), dessen Charakteristik von 2 verschieden ist, wird ein explizites \(G\)-generisches Polynom bez. \(K\) für die folgenden Gruppen konstruiert: Die Quaternionengruppe \(Q_8\) sowie die zentralen Produkte \(QC\) und \(QQ\). Hier bezeichnet \(QC\) (bez. \(QQ\)) das Produkt von \(Q_8\) und der zyklischen Gruppe \(C_4\) der Ordnung 4 (bez. von \(Q_8\) und \(Q_8\)), wobei die zentralen Elemente der Ordnung 2 der beiden Gruppen jeweils identifiziert werden.