Equivariance and multiplicity for the scalar curvature problem (Q5937093)

L'Auteur étudie, sur une variété Riemannienne compacte \((V,g)\) de dimension 3, le problème de la courbure scalaire prescrite lorsque la fonction candidate est invariante sous l'action d'un sous-groupe compacte du groupe conforme. Quitte à considérer une métrique conforme à \(g\), on peut supposer que \(G\) est groupe d'isométrie. Des théorèmes, du style de ceux connus lorsque \(G=\text{Id}\), sont établis. Notons \(R\) la courbure scalaire de \(g\). Des conditions nécessaires sont évidentes. Si \(R<0\), \(\int fdV(g)<0\). Si \(R=0\), \(\int fdV(g) <0\) et \(\max f>0\) si \(f\not\equiv 0\). Si \(R>0\), \(\max f>0\). Lorsque la variété n'est pas conformément difféomorphe à \((S_3\), can) les conditions précédentes sont suffisantes dans les cas \(R=0\) et \(R>0\). Dans le cas positif, la démonstration utilise le théorème de la masse positive en dimension 3. Dans ce cas, sous certaines hypothèses, \(f\) est la courbure scalaire de deux métriques conformes à \(g_0\).