On an effective construction of large sets of algebraically independent numbers (Q5939638)

Mittels Approximationsmethoden à la Liouville beweist Verf. folgenden Satz. Sei \(A\subset{\mathbb{R}}\) eine höchstens abzählbare Menge algebraisch unabhängiger (kurz: a.u.) Zahlen. Dann gibt es eine effektiv konstruierbare, kontinuumsmächtige Menge \(B \subset{\mathbb{R}}_+\), so daß \(A \cup B\) a.u. ist und daß gilt: Für \(m,n\in{\mathbb{N}}_0\), \(m+n > 0\), seien \(\underline\xi :=(\xi_1,\ldots,\xi_n)\in A^n\), \(\underline\eta := (\eta_1,\ldots,\eta_m)\in B^m\) mit \(|\xi_1|< \cdots < |\xi_n|\) bzw. \(\eta_1 < \cdots < \eta_m\) vorgelegt. Es seien \(\varepsilon, \gamma\in{\mathbb{R}}_+\) mit \(|\xi_n|\leq \gamma\) und \(f(\eta_\mu) - f(\eta_{\mu-1}) \geq \varepsilon\) für \(1 < \mu \leq m\) bei geeignetem, streng monoton wachsendem \(f: B\to{\mathbb{R}}_+\), welches nur von der Menge \(A\) und der Numerierung ihrer Elemente abhängt. Dann gibt es ein Maß \(w_s(H;\underline\xi, \underline\eta)\) für die a.U. der \(\underline\xi, \underline\eta\), welches nur von \(s, H, n, m, \varepsilon, \gamma\), der Menge \(A\) und der Numerierung ihrer Elemente abhängt, wobei \(P\in{\mathbb{Z}}[X_1,\ldots,X_n, Y_1,\ldots,Y_m]\setminus\{0\}\) alle Polynome vom Totalgrad \(\leq s\) und der (klassischen) Höhe \(\leq H\) durchläuft. Folgendes Korollar hat man mit einem Ergebnis von \textit{J. von Neumann} [Math. Ann. 99, 134-141 (1928; JFM 54.0096.02)] zu vergleichen: \(A \subset{\mathbb{R}}\) bestehe aus höchstens abzählbar vielen a.u. Zahlen. Dann gibt es einen effektiv konstruierbaren, kontinuumsmächtigen Teilkörper \(C\subset{\mathbb{R}}\) mit \(A\subset C\) und \(C \cap\overline{\mathbb{Q}} \subset{\mathbb{Q}}\). Anmerkung: Unverständlich bleibt dem Ref., wieso als Beispiele für Transzendenzmaße bzw. Maße für a.U. die Ergebnisse aus dem Jahr 1949 von Gel'fond für \(\alpha^\beta\) bzw. von Fel'dman für \(\alpha^\beta, \alpha^{\beta^2}\) bei \([\beta:{\mathbb{Q}}] = 3\) zitiert werden, obwohl in beiden Fällen bessere, im zweiten sogar deutlich bessere Resultate vorliegen. Diese haben bereits in die neuesten Monographien zum Gegenstand Eingang gefunden.