Scalar curvature, metric degenerations, and the static vacuum Einstein equations on 3-manifolds. II (Q5943670)

Cet article est la suite d'un article d'Anderson [\textit{M. T. Anderson}, Geom. Funct. Anal. 9, 855-967 (1999; Zbl 0976.53046)]. Les variétés riemaniennes \((M,g)\) sont compactes de dimension 3 et de volume \(v=1\). \(M\) est sans bord orientée et connexe. \(s\) est la courboure scalaire et \(r\) la courbure de Ricci. L'article est dévolu à l'existence sur la variété d'une métrique riemannienne à courbure sectionnelle constante. \(\sigma(M)\) dénote le sup sur toutes les classes conformes \([g]\) de l'inf \(\sigma_{[g]} (M)\) de la fonctionnelle de Yamabe sur les métriques de \([g]\). Par un résultat ancien d'Aubin, on sait qu'il existe toujours une métrique à courbure scalaire negative. Par contre d'après Gromov-Lawson, il y a des obstructions topologiques pour qu'une variété possède une métrique à courbure scalair positive. Dans tout l'article on suppose \(\sigma (M)\leq 0\). L'Auteur cherche des fonctionnelles dont l'inf serait atteint par une métrique à courbure sectionnelle constante \(S^2=(v^{1/3} \int s^2dV)^{1/2}\) conviendrait, mais \(S^2_-=(v^{1/2} \int(s^-)^2 dV)^{1/2}\) lui préférable \((s^- =\min(s.o))\). Comme \(\sigma (M)\leq 0\) l'inf de \(S^2\) et l'inf de \(S^2_-\) sur toutes les métriques sont égaux à \(\sigma(M)\). On construit pour \(S^2_-\) une suite minimisante \(\{g_i\}\), la métrique minimisant elle-même la fonctionnelle \[ I^-_\varepsilon= \varepsilon v^{1/2}\int_M|z|^2 dV+ (v^{1/3} \int_M (s^-)^2 dV)^{1/2} \] où \(z=r- {s\over 3}g\). Pour tout \(\varepsilon >0\), il existe une métrique complète \(g_\varepsilon\in H_3^p \cap C^{2,\alpha}\) sur un ouvert \(\Omega_\varepsilon\) de volume 1 \((p\) fini et \(\alpha<1\) pouvant être choisis arbitrairement au départ) qui satisfait faiblement dans \(H^p_3\) l'équation d'Euler \(\nabla I^-_\varepsilon=0\) et réalise le minimum de \(I^-_\varepsilon\). De plus \(s_\varepsilon\geq \lambda\) un réel qui ne dépend pas de \(\varepsilon\), et la courbure de Ricci \(r_\varepsilon \in H^p_{1,\text{loc}}\). Maintenant il faut faire converger une suite minimisante \(\{g_i\}\), \(g_i\) est mis pour \(g_{\varepsilon_i}\). Si la suite \(a_i= \int_M|z_{g_i} |^2 d V_{g_i}\) est bornée, au cas où il n'y aurait pas de convergence \((C^{2,\alpha}\) d'une sous-suite) vers une métrique \(g_0\), le problème a été entièrement resolu. Reste le cas \(a_i \to+ \infty\) où il y a concentration de la courbure. Il existe alors une suite \(\{x_i\} \subset M\), \(x_i\in \Omega_{\varepsilon_i}\) pour tout \(i\) telle que \(\rho(x_i)= \rho(x_i, g_i)\to 0\). \(\rho(x)\) pour \((N,g)\) mesure la concentration de la courbure en \(x\). Ici \((N,g)\) est une variété, connexe, orientée, de dimension 3. Si \(N\) est compacte, \(N\) peut être à bord. Par définition \(\rho (x)\) est le rayon de la plus grande boule géodésique centrée en \(x\) (incluse dans l'intérieur de \(N\) avec \(\rho(x) \leq\text{diam} N)\) ayant la propriété suivante: pour tout \(y\in B_x(\rho(x))\) et tout \(t\leq\text{dist} (y, \partial B_x(\rho (x)))\), \[ {t^4\over \text{vol} B_y(t)}\int_{B_y(t)} |r |^2\leq C_0, \] \(C_0>0\) étant un petit paramètre. Comme \(\rho(x_i) \to 0\) on fait un blow-up. On pose \(g_i'=[\rho (x_i)]^{-2}g_i\), ainsi \(\rho_i'(x_i)=1\). On peut supposer que \(x_i\to x\) et qu'il existe une sous-suite \(\{g_j'\} \subset \{g_i'\}\) qui converge faiblement dans \(H_2\) vers une limite \((B_x'(1),g',x)\). Si ce n'était pas le cas, on travaillerait sur un revêtement adequat. \(g'\) est \(C^{2,\alpha} \cap H_3^p\) complète et non plate. On détermine alors l'équation satisfaite par \(g'\). On revient à l'équation d'Euler vérifiée par \(g_i\) d'où par \(g_i'\) (la fonctionnelle est invariante par homothétie). Trois cas se présentent suivant les degrés de concentration de courbure: (i) \(\varepsilon/\rho^2\to\infty\), (ii) \(\varepsilon/ \rho^2\to \alpha>0\), (iii) \(\varepsilon/ \rho^2\to 0\). \(g'\) vérifie sur \(N\) suivant le cas (i) la \(Z^2\)-équation: \(\nabla Z^2=0\) et \(\Delta s=-3|z |^2\) où \(\nabla Z^2=D^k Dz+\frac 12 D^2s-2 R\circ z+\frac 12 (|z |^2- \frac 12\Delta s)\) \(g,R\) est le tenseur de courbure. De plus \(s\geq 0\). Dans le cas (ii) la \(Z^2_C\)-équation: \[ \alpha\nabla Z^2+L^* \tau=0 \quad\text{et}\quad \Delta\bigl( \tau+\frac {1}{12}\alpha s\bigr)= -\frac 14 \alpha|z |^2, \] \(\alpha >0\) est un réel. De plus \(s\geq 0\), \(\tau\leq 0\) et \(s.\tau \equiv 0\). Ici \(L^*\tau =D^2\tau- (\Delta\tau) g-\tau r\) et le potentiel \(\tau= s^-/ \sigma\) avec \(\sigma= (v^{1/3} \int(s^-)^2dV)^{1/2}\) lorsque \(s\leq 0\). Pour \(s>0\), \(\tau\) est défini à partir d'une suite d'approximations \(C^2\) de la fonction \(s^-\). Dans le cas (iii) les équations d'Einstein dans le vide de l'univers statique \(L^*\tau=0\) et \(\Delta \tau=0\). On peut décomposer \(N,N=N^-\cup \Sigma\cup N^+\) où \(N^-= \{\tau <0\}\), \(N^+\) l'intérieur de l'ensemble \(\{s\geq 0\}\) et \(\Sigma\) le bord de cet ensemble qui est \(C^{1,\beta}\). Sur \(N^+\) la métrique est une \(Z^2\)-solution, sur \(N^-\) la métrique est soit une \(Z^2_c\)-solution (éventuellement avec \(s\equiv 0)\), soit une solution des équations d'Einstein dans le vide. Sur un ensemble, si \(\tau<0\) (ou \(s>0)\) \(g'\) est \(C^\infty\). Des exemples sont présentés.