On a certain extended Galois action on the space of arithmetic modular forms with respect to a unitary group (Q5947031)

Jede holomorphe Hilbertsche Modulform zur Hilbertschen Modulgruppe \(\text{SL}(2,\mathbb{F})\) eines Total-reellen algebraischen Zahlkörpers \(\mathbb{F}\) läßt sich zur Spitze \(\infty\) in eine Fourierreihe entwickeln. \textit{G. Shimura} [Duke Math. J. 45, 637-679 (1978; Zbl 0394.10015)] zeigte, daß Anwendung eines Automorphismus \(\sigma\in \Aut(\mathbb{C})\) auf die Fourierkoeffizienten wieder eine Hilbertsche Modulform ergibt. Übertragung auf eine unitäre Gruppe zu einer total-imaginären quadratischen Erweiterung \(K\) von \(\mathbb{F}\), wobei Fourier-Jacobi-Entwicklungen an Stelle der Fourierentwicklungen treten, liefert ein entsprechendes Ergebnis, jedenfalls für arithmetische Thetareihen als Koeffizienten, wobei die \(\sigma\in \Aut(\mathbb{C})\) noch gewissen Nebenbedingungen erfüllen müssen. Für den Fall, daß \(\sigma\) trivial auf \(K\) ist, hat \textit{G. Shimura} [Ann. Math. (2) 107, 569-605 (1978; Zbl 0409.10016)] das Ergebnis ohne Beweis formuliert. Grundlage war die Arbeit [Duke Math. J. 43, 673-696 (1976; Zbl 0371.14022)] von \textit{G. Shimura}. Verf. hat in der vorliegenden Arbeit den Hauptsatz aus dieser Arbeit von Shimura auf alle \(\sigma\in \Aut(\mathbb{C})\) ausgedehnt und die fehlenden Beweise geliefert.