Differential transcendence of a class of generalized Dirichlet series (Q5954296)

Es sei \({\mathcal G}\) die Algebra über \({\mathbb C}\) der formalen Dirichletreihen der Gestalt \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\lambda_n^{-s}\) mit einer streng monoton wachsenden nicht beschränkten Folge \(\lambda_n >0\) und \(a_n \in {\mathbb C}\) für alle \(n \in{\mathbb N_0}\). \({\mathcal D}_0\) sei die Unteralgebra von \({\mathcal G}\) mit den Elementen \(\sum_{n=1}^{\infty}a_nn^{-s}\), bei denen fast alle \(a_n=0\) sind. Ein \(f \in{\mathcal D}\) heißt differentiell transzendent über einer Unteralgebra \({\mathcal H}\) von \({\mathcal G}\), falls für kein \(n\geq0\) ein nichttriviales Polynom \(P \in {\mathcal H}[ X_0,\dots,X_n]\) in Unbestimmten \(X_i\) über \({\mathcal H}\) existiert, so dass \(P(f,f',\dots,f^{( n)})=0\) ist. Dabei bezeichnen \(f^{(i)}\) die formalen Ableitungen von \(f\) nach \(s\). Die Verf. beweisen mit Hilfe einer Verallgemeinerung eines Jacobischen Kriteriums für algebraische Unabhängigkeit von \textit{H. N. Shapiro} und \textit{G. H. Sparer} [Commun. Pure. Appl. Math. 39, 695--745 (1986; Zbl 0605.30003)]NEWLINENEWLINESatz 1. Es sei \(f=\sum_{n=0}^{\infty}a_n{\lambda}_n^{-s } \in {\mathcal G}\) und \(a_n \neq 0\) für unendlich viele \(n \in {\mathbb N} _0\). Die Menge \({\mathbb P}\) der Primzahlen sei fremd zu \({\mathbb L}:=\{\lambda_n \mid n\in {\mathbb N}_0\}\), und die Zahlen \(\in {\mathbb P}\cup {\mathbb L}\) seien multiplikativ unabhängig. Dann ist \(f\) differentiell transzendent über \({\mathcal D}_0\).NEWLINENEWLINEDieser Satz ist eine Verallgemeinerung eines entsprechenden Satzes von \textit{V. Laohakosol} [Proc. Am. Math. Soc. 115, 637--645 (1992; Zbl 0762.11001)]. Insbesondere ist die Hurwitzsche Zetafunktion \(\zeta(s,a)\) für transzendentes \(a\) differentiell transzendent. Eine Anwendung für algebraisches \(a\) gelingt mitNEWLINENEWLINESatz 2. Es sei \(K\) ein algebraischer Zahlkörper endlichen Grades, und \({\mathcal O}_K\) sei der Ring der ganzen Zahlen von \(K\). Für \(\alpha \in K\) sei \(N(\alpha)= \text{Norm}_{K/{\mathbb Q}}(\alpha)\). Es sei \(f=\sum_{n=0}^{\infty}a_n{\lambda}_n^{-s } \in {\mathcal G}\), und es gelte (1) \(\lambda_n \in K\) für alle \(n\in {\mathbb N_0}\); (2) \(\exists D\in {\mathbb N}\) mit \(D\lambda_n\in {\mathcal O}_K\) für alle \(n\in {\mathbb N}_0\); (3) \(\exists m\in {\mathbb N}_0\), so dass \((| N(\lambda_n)| )_{m<n\in {\mathbb N}_0}\) streng monoton wächst; (4) für ein \(D\) mit (2) ist \(\{p\in {\mathbb P}\mid \exists n\in {\mathbb N}_0\) mit \(p| N(D\lambda_n)\) und \(a_n \neq 0\}\) eine unendliche Menge. Dann ist \(f\) differentiell transzendent über \({\mathcal D}_0\).NEWLINENEWLINEDaraus wird gefolgert, dass sogar jede formale Dirichletreihe \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(n+a)^{-s}\) mit \(a>0\) und \(a_n\neq 0\) für unendlich viele \(n\in {\mathbb N_0}\) und damit die Lerchsche Zetafunktion \(L(\lambda,\alpha,s)\) für \(\lambda \in {\mathbb R}, \alpha > 0\) differentiell transzendent über \({{\mathcal D}_0}\) ist. Eine allgemeinere funktionale Unabhängigkeit Lerchscher Zetafunktionen wurde von \textit{A. Laurinčikas} und \textit{K. Matsumoto} [Nagoya Math. J. 157, 211--227 (2000; Zbl 0970.11034)] bewiesen.